Атлас по истории егэ. Пособия для подготовки к егэ по истории. Скачать атласы по истории России
:обобщение и систематизация знаний учащихся по
теме: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”,
ликвидация пробелов в знаниях и умениях учащихся, установление внутри
предметных связей изученной темы с другими темами курса математики;
Задача: провести повторение, обобщение и систематизацию знаний учащихся по теме “Квадратные уравнения. Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля ”.
Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная работа.
Форма проведения урока: беседа с элементами самостоятельной работы учащихся, работа у доски, индивидуальная и групповая работа по выполнению учебных заданий.
Оборудование: ПК, проектор, экран.
Ход урока
I. Организационный момент.
(Приветствие учащихся и проверка готовности к уроку.)
– Квадратные уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.), сегодня на уроке мы должны суметь применить все свои знания и умения к решению квадратных уравнений с параметром и модулем.
II. Постановка цели.
– Тема урока: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”. Сегодня у нас урок по решению квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Ребята, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?
– Иными словами, повторить, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для возможности выбора рационального пути решения.
– Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений с параметром и модулем, научиться выбирать рациональный путь решения.
III. Воспроизведение и коррекция опорных знаний:
– Прежде всего, вспомним некоторый, изученный материал. Приложение 1
– Выполним устно задания теста. Приложение 2
– Итак, весь необходимый материал повторили, я приглашаю вас на презентацию решения квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для начала заполним карточки, которые лежат у каждого на столе. Приложение 3
Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.
Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные карточки вперед.
IV. Обобщение и систематизация знаний, их применение для выполнения практических заданий:
1. Пример: Решите уравнение: x 2 -5│х│= 0.
Решение. Используя свойство модуля: |a| 2 =a 2 , перепишем данное уравнение в виде: │х│* (│х│– 5) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. Решив уравнение, имеем: х 1 = 0, х 2,3 = + 5.
Ответ: -5;0;5.
2. Пример: Существует ли на окружности, заданной уравнением (х-3) 2 + (у+1) 2 = 7, точка: а) с абсциссой, равной 1,5; б) с ординатой, равной – 3?
Решение. а) (у+1) 2 = 7 – (1,5 – 3) 2 >0 – такая точка существует; б) (х+3) 2 =7-(-3+1)>0-такая точка существует.
3.Пример: дано соотношение 2а 2 +4а + 2b 2 -4b – 5(a+1)(b-1) +4 = 0. Выразите b через а.
Решение. Имеем 2(а 2 +2a)+2(b 2 -2b) – 5(a+1)(b-1) +4 = 0;
2(a 2 +2a+1) +2(b 2 -2b+1)-5(a+1)(b-1)=0; 2(a+1) 2 -5(a+1)(b-1)+2(b-1) 2 =0.
Рассматривая это равенство, как квадратное уравнение относительно а+1, получим a+1 = 2(b-1) или a+1=(b-1)/2. Следовательно, b = (a+3)/2 или b= 2a+3.
V. Физкультминутка.
4. Пример: Решите уравнение:│х 2 +х-3│=х.
Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью, по определению модуля получаем систему:
Ответ: 1, √3.
5.Пример: Решите уравнение: │х+3│=│2х 2 +х-5│.
Решение . Решим методом замены уравнения совокупностью двух уравнений, по определению модуля получаем:
Ответ: + 2, (-1+ √5)/2.
6.Пример: Решите уравнение: х 2 +(3-а)х-3а ‗0
Ответ: Нет решений при а = -3 и а = 4; при х = а данное уравнение имеет решение.
VI. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний:
7.Пример: Решите уравнение: │х-2│х 2 =10-5х.
Решение. Так как │х-2│х 2 =5(2-х), то х≤2.
Тогда уравнение примет вид (х-2)х 2 =5(2-х);
Ответ: 2, -√5.
8. Пример: Решите уравнение:
‗0х 2 -(3b-1)х+2b 2 – 2b
х 2 -7х+6
Ответ: При b =7 или b = 2: один корень х = 2 b; при b = 1/2 или b = 3: один корень х = b – 1; при остальных b: два корня х = 2 b и х = b – 1.
VII. Оперирование ЗУН-ми в стандартных ситуациях:
9. Пример: Найдите сумму квадратов всех корней уравнения
x 2 -5│х│+ 1= 0.
Решение. Применив метод – введения новой переменной, решим уравнение. Пусть: t = │х│, получим уравнение t 2 – 3t + 1 = 0, имеющее два корня t 1 и t 2 (так как D>0). Очевидно, что корни t 1 и t 2 – положительны (t 1 + t 2 >0, t 1 * t 2 >0). Следовательно, по свойству модуля исходное уравнение, равносильно совокупности уравнений
имеет четыре корня: + t 1 , + t 2 . Их сумма квадратов t 1 2 + (-t 1) 2 + t 2 2 + (-t 2) 2 = 2(t 1 2 +t 2 2). Так как t 1 2 +t 2 2 = (t 1 +t 2) 2 – 2 t 1 t 2 = 9 – 2*1 = 7, то искомая сумма квадратов всех корней равна 14.
10.Пример: При каком значении параметра а уравнение (а + 4х – х 2 -1)(а+1-│х – 2│) = 0 имеет три корня?
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Рассмотрим уравнение х 2 – 4х + 1 – а = 0.
Так как ¼ D = 4 – 1 + а = 3 + а, то при а > – 3 оно имеет два корня;
при а = – 3 – один корень; при а < – 3 – корней нет.
Рассмотрим уравнение │х – 2│= а + 1. При а = – 1 оно имеет один корень, при а > – 1 – два корня. При а < – 1 корней нет. Очевидно, что при а = – 1 исходное уравнение имеет три корня. При а > – 1 каждое из уравнений имеет по два корня, симметричных относительно точки х 0 = 2. В этом случае х = 2 не является корнем, а общее число корней уравнений четно.
Итак, исходное уравнение имеет три корня лишь при а = – 1.
Ответ: а = – 1.
VIII. Пауза отдыха:
– Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…
Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.
IX. Выполнение упражнений:
11. Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Найдите это число.
Решение . Пусть а – одна из цифр числа, тогда а + 3 – другая цифра. Исходное число имеет вид 10а + (а + 3) = 11а + 3.
После перестановки цифр получится число 10(а + 3) + а = 11а + 30. Согласно условию, получаем уравнение (10а + 3) 2 +(11а+30) 2 = 1877, откуда находим а = 1.
Ответ : 14 или 41.
X. Подведение итогов.
– Сегодня на уроке мы:
1) повторили определение квадратного уравнения;
2) рассмотрели виды квадратных уравнений и алгоритм решения квадратных уравнений, формулы для нахождения корней квадратного уравнения;
3) сформулировали теорему Виета и обратную ей теорему;
4) повторили определение модуля и параметра;
5) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр;
6) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих модуль;
7) обобщили опыт решения квадратных уравнений с параметром и модулем;
8) научились выбирать наиболее рациональный метод решения квадратного уравнения с параметром и модулем.
– Оценки на уроке выставляются: – за теоретический опрос;
– за индивидуальную работу у доски;
– за работу по карточкам;
– за самостоятельную работу.
XI. Домашнее задание и его инструктаж:
М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Приложение 4
XII. Рефлексия.
(Учащимся предлагается выполнить задание на приготовленных карточках)
Список литературы
- Анищенко А.Г.
Большую роль в развитии математического мышления играет изучение темы «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» Вместе с тем изучению этой темы в школьной программе не уделяется достаточного внимания. Наш интерес к теме объясняется тем, что уравнения с модулем предлагаются на школьных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы (на ЕГЭ).
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре – это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т. п. Модуль объемного сжатия (в физике) – отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.
1. 1. Определение модуля. Решение по определению.
По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a:
Модуль числа всегда неотрицателен. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить уравнение x = 5.
Следуя определению модуля, рассматриваем два случая. При x ≥ 0 уравнение принимает вид x = 5, а при x 0, а –5
Ответ: 5; –5.
Пример 2. Решить уравнение –x = –3.
Здесь разбор случаев устраивать не нужно, потому что абсолютная величина числа всегда неотрицательна, и значит, данное уравнение не имеет решений.
Запишем решение этих простейших уравнений в общем виде:
Пример 3. Решить уравнение x = 2 – x.
Решение. При x ≥ 0 имеем уравнение x = 2 – x, т. е. x = 1. Поскольку 1 > 0, x = 1 – корень исходного уравнения. Во втором случае (x
Ответ: x = 1.
Пример 4. Решить уравнение 3x – 3 + x = –1.
Решение. Здесь разбиение на случаи определяется знаком выражения x – 3. При x – 3 ≥ 0 имеем 3x – 9 + x = –1 ⇔ x = 2. Но 2 – 3 0.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Пример 5. Решить уравнение x – 1 = 1 – x.
Решение. Поскольку 1 – x = – (x – 1), непосредственно из определения модуля следует, что уравнению удовлетворяют те и только те x, для которых x – 1 ≤ 0. Это уравнение свелось к неравенству, и ответом является целый промежуток (луч).
Ответ: x ≤ 1.
Пример 6. Решить уравнение x –3 = 3 – 2x.
Рассматриваем два случая.
При x – 3 ≥ 0 уравнение принимает вид x – 3 = 3 – 2x, откуда x = 2. Но это значение не удовлетворяет неравенству x – 3 ≥ 0, задающему рассматриваемый случай, и потому не входит в ответ исходного уравнения.
Ответ: х = 0.
1. 2. Решение уравнений по правилам.
Разобранные ранее примеры позволяют сформулировать правила освобождения от знака модуля в уравнениях. Для уравнений вида f(x) = g(x) таких правил два:
1-е правило: f(x) = g(x) ⇔ (1)
2-е правило: f(x) = g(x) ⇔ (2)
Поясним используемые здесь обозначения. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности.
Решения системы уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы.
Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности.
Два уравнения равносильны, если любое решение каждого из них является и решением другого, иначе говоря, если множества их решений совпадают.
Если уравнение содержит несколько модулей, то от них можно избавляться по очереди, пользуясь приведенными правилами. Но обычно есть более короткие пути. Мы познакомимся с ними позже, а сейчас рассмотрим решение самого простого из таких уравнений:
Эта равносильность следует из того очевидного факта, что если равны модули двух чисел, то сами числа либо равны, либо противоположны.
Пример 1. Решить уравнение x2 – 7x + 11 = x + 1.
Решение. Избавимся от модуля двумя описанными выше способами:
1 способ: 2 способ:
Как видим, в обоих случаях приходится решать те же самые два квадратных уравнения, но в первом случае их сопровождают квадратные неравенства, а во втором – линейное. Поэтому второй способ для данного уравнения проще. Решая квадратные уравнения, находим корни первого, оба корня удовлетворяют неравенству. Дискриминант второго уравнения отрицателен, следовательно, уравнение корней не имеет.
Пример 2. Решить уравнение x2 – x – 6 = 2x2 + x – 1.
Решение. Мы уже знаем, что рассматривать (целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств: Которая равносильна: Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня.
Приведем один поучительный способ вывода этой равносильности, основанный на том, что два неотрицательных числа равны тогда и только тогда, когда равны их квадраты, и на тождестве x2 = x2:
a = b ⇔ a2 = b2 ⇔ a2 – b2 = 0 ⇔ (a – b)(a + b) = 0 ⇔ a = b или a = –b; в качестве a и b здесь можно брать любые выражения, в частности выражения, стоящие под знаком модуля в данном уравнении.
Во всех разобранных решениях, освобождаясь от модулей, мы из одного уравнения получали два, после чего тем или иным образом отсеивали посторонние корни при их наличии.
Третий способ освобождения от модуля – замена переменной.
Пример 3. Решить уравнение x2 – 3 x + 2 = 0.
Решение. Уравнение можно записать в виде x2 – 3x + 2 = 0. Теперь сделаем замену y = x: получаем уравнение y2 – 3y + 2 = 0, откуда y1 = 1, y2 = 2. Возвращаемся от y к x: x = 1, x = 2 и записываем ответ: x = ±1, ±2.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Так как уравнение равносильно уравнению откуда Теперь сделаем замену y = x: получаем уравнение y2 – 5y + 6 = 0, откуда y1 = 2, y2 = 3. Возвращаемся от y к x: x = 2, x = 3 и записываем ответ: x = ±2, ±3.
Пример 5. Решить уравнение:
Решение. Заметим, что, тогда уравнение примет вид: Пусть, тогда решим квадратное уравнение:. Его корни, условию удовлетворяет первый корень. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнение, решая которое находим:.
1. 3. Задачи с несколькими модулями. Методы решения.
Последовательное раскрытие модулей.
Есть два основных подхода к решению уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. Можно назвать их "последовательным" и "параллельным". Сейчас познакомимся с первым из них.
Его идея в том, что сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей.
Пример. Решить уравнение: 1 – 3x + 43 + x = 12.
Решение. Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины:
К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля:
Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам. В результате остаются лишь два значения: x = –1 и.
Ответ: -1;.
Параллельное раскрытие модулей.
Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. Если в уравнении n модулей, то вариантов будет 2n, ибо каждое из n выражений, находящихся под модулем, при снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. В принципе, нам надо решить все 2n уравнений (или неравенств), освобожденных от модулей. Но их решения будут и решениями исходной задачи, только если они лежат в областях, где соответствующее уравнение (неравенство) совпадает с исходным. Эти области определяются знаками выражений под модулями. Следующее неравенство мы уже решали, так что вы можете сравнить разные подходы к решению.
Пример. Решить неравенство 1 – 3x + 43 + x = 12.
Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями.
Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению.
Ответ: -1;.
Аналогично можно решать любые задачи с несколькими модулями. Но, как всякий универсальный метод, этот способ решения далеко не всегда оптимален. Ниже мы увидим, как его можно усовершенствовать.
1. 4. Метод интервалов в задачах с модулями
Присмотревшись внимательнее к условиям, задающим разные варианты распределения знаков подмодульных выражений в предыдущем решении, мы увидим, что одно их них, 1 – 3x
Представьте, что мы решаем уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например, x – a + x – b + x – c = m.
Первый модуль равен x – a при x ≥ a и a – x при x
Они образуют четыре промежутка. На каждом из них каждое из выражений под модулями сохраняет знак, следовательно, и уравнение в целом после раскрытия модулей имеет на каждом промежутке один и тот же вид. Итак, из 8 теоретически возможных вариантов раскрытия модулей нам оказалось достаточно только 4!
Так же можно решать любую задачу с несколькими модулями. Именно, числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства всех выражений, стоящих под модулями, а затем на каждом из них решается то уравнение или неравенство, в которое превращается данная задача на этом промежутке. В частности, если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства. Точно так же мы действуем при решении рациональных неравенств методом интервалов. И описанный нами метод решения задач с модулями имеет то же название.
Пример 1. Решите уравнение.
Решение. Найдем нули функции, откуда. Решаем задачу на каждом интервале:
Итак, данное уравнение не имеет решений.
Пример 2. Решите уравнение.
Решение. Найдем нули функции. Решаем задачу на каждом интервале:
1) (решений нет);
Пример 3. Решите уравнение.
2) - корень уравнения;
3) - корень данного уравнения.
Пример 4. Решите уравнение
Решение. Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины обращаются в ноль при. Соответственно нам нужно рассмотреть три случая:
1) - корень данного уравнения;
1. 5. Вложенные модули
Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в "задачах-матрешках", где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько.
Пример 1. Решите уравнение:
Решение. Освободимся от внешнего модуля, получим Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как модуль всегда положителен, а первое уравнение равносильно совокупности:
Ответ: 0; 2.
Пример 2. Решите уравнение:.
Решение. Освободимся от внешнего модуля, получим. Проделаем эту операцию ещё раз:. Первое уравнение равносильно совокупности: Второе уравнение совокупности решений не имеет:.
Пример 3. Решите уравнение:.
Решение. Введем новые переменные, пусть, тогда данное уравнение равносильно уравнению, то есть выражения и одного знака. Возвращаясь к переменной х имеем:. Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем:.
Пример 4. Решите уравнение:.
Решение. Введем новые переменные, пусть, тогда имеем уравнение Сделав обратную замену, получим:
Решая последнюю систему неравенств методом интервалов, получаем:.
1. 6. Методом интервалов можно решать и задачи с вложенными модулями. Внутренний модуль в уже рассмотренном неравенстве x2 – 3x + 2 – 1 > x – 2 обращается в 0 в точках x1 = 1 и x2 = 2 (корнях уравнения x2 – 3x + 2 = 0). Чтобы найти нули внешнего модуля, приходится решать дополнительное уравнение с модулем:
x2 – 3x + 2 – 1 = 0 ⇔
(В возникающей здесь совокупности двух квадратных уравнений второе решений не имеет.) Найденные корни разбивают ось на 5 промежутков, однако на некоторых промежутках неравенство после раскрытия модулей принимает одинаковый вид, причем из четырех возможных вариантов раскрытия модулей реализуются только три. Даже не доводя это решение до конца, мы видим, что оно проигрывает приведенному ранее решению с помощью последовательного раскрытия модулей.
Модули и квадраты.
Существует простой и быстрый способ освобождения от знака модуля в уравнениях (1) вида f(x) = g(x):
Он основан на двух очевидных соображениях. Во-первых, из двух неотрицательных чисел то больше, квадрат которого больше, а если квадраты равны, то и числа равны: a > b ⇔ a2 > b2; a = b ⇔ a2 = b2. (2)
Во-вторых, квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: a2 = a2. Поэтому (1) допускает такое равносильное преобразование:
Заметим, что уравнение свелось к совокупности уравнений, которую мы уже выводили ранее. Впрочем, важнее запомнить не вид этих совокупностей, а идею решения.
Эту же идею можно применить к уравнениям или неравенствам, одна часть которых равна нулю, а другая содержит разность модулей как сомножитель. В такой задаче разность модулей можно заменить разностью квадратов тех же выражений:
и этот переход будет равносильным, поскольку в силу (2) обе разности могут быть положительны, отрицательны или равны нулю только одновременно.
Пример. Решите уравнение:
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим эквивалентное уравнение: то есть то есть,
1. 7. Модули неотрицательных выражений.
Пример 1. Решите уравнение.
Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т. д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим
Пример 2. Решите уравнение.
Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение. Решая его и учитывая ограничение, получаем х = 1.
Пример 3. Решите уравнение.
Решение. Воспользуемся тождеством, и получим уравнение, решая которое методом интервалов получим ответ.
2. 1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля
Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много): "Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна – произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней, и последняя – с абсциссой, большей большего из корней.
Например:
1) f(x) = x - 1. Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков
2) f(x) = x - 1 + x – 2. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых
3) f(x) = x - 1 + x – 2 + x – 3. Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4
4) f(x) = x - 1 - x – 2. График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1, 2, 0 и 3.
2. 2. Построение графиков уравнений, содержащих знак абсолютной величины.
1 Исходная функция.
2 Часть графика, расположенная выше оси Ох остается без изменения, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс симметрично отображается вверх
3 Часть графика, расположенная правее оси Ох остается без изменения, и симметрично отображается относительно оси ординат.
4 Часть графика, построенная при остается без изменения, а при построить график
5 Строим график, оставляем часть графика, расположенную выше оси Ох и отображаем часть графика, лежащую ниже оси абсцисс симметрично вверх.
6 Строим часть графика при, затем при строим часть графика при.
7 Строим график при, затем строим график функции при.
8 Строим график уравнения при, затем отображаем полученное изображение симметрично относительно оси абсцисс.
Пример 1. Построить множество точек на плоскости.
Решение. Строим вспомогательный график. Затем, а затем множество.
Пример 2. Построить множество точек на плоскости.
Решение. Заменим данное выражение равносильной ему системой:
; затем строим аналогично как в примере 4 множества точек, задаваемые соотношениями:
Искомое множество точек показано на рисунке.
Задание 1. Самостоятельно постройте графики множества точек:
Задание 2. Самостоятельно постройте графики множества точек: а) ; б) ; в) ; г) ; д); е); ж) ; з).
и проверьте правильность ответа на рисунке.
2. 3. Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины.
Пример 1. Решить уравнение
3 x + 2 + x2 + 6x + 2 = 0.
Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и. Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения. Парабола пересеклась с графиком функции в точках с координатами (-4; 6) и (-1; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек:.
Ответ: -4; -1.
Пример 2. Решить равнение
4 – x + (x – 1)(x – 3) = 3.
Решение. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и.
Парабола пересеклась с графиком функции в точках с координатами (1; 0), (2; 1) и (4; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек:.
Ответ: 1; 2; 4.
Пример 3. Решить графически уравнение
1 – x - 2x + 3 + x + 4=0
Решение. Представим уравнение в виде
1 – x - 2x + 3 = -х – 4.
Построим два графика у = 1 – x - 2x + 3 и у = -х – 4.
Ломаная у = 1 – x - 2x + 3 пересеклась с графиком функции у = -х – 4 в точке с координатами (-4; 0) следовательно, решением данного уравнения будет абсцисса точки: х = -4.
График функции у = - х – 4 совпадает с графиком у = 1 – x - 2x + 3, при х ≥1,
Поэтому решением являются все х ≥1 и х = -4.
Ответ: х ≥1, х = -4.
Пример 4. Решить графически уравнение
Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и. Эти графики пересекаются в двух точках (-2; -3) и (2; 3), следовательно, исходное уравнение имеет два решения. Ответ: -2; 2.
Пример 5. Решить графически уравнение
Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и. Эти графики пересекаются в двух точках (-2; 0) и (2; 0), следовательно, исходное уравнение имеет два решения.
Ответ: -2; 2.
Ответ: 1; 2; 3.
2. 4. Графическое решение задач с параметром и модулем.
При решении заданий, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два больших класса. Первый: «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых уравнения или неравенства удовлетворяют некоторым условиям».
Проблемы, возникающие при решении задач с параметрами в совокупности с модулями, вызваны как сложностью этих задач, так и тем, что в школе, таким задачам уделяется мало внимания. Это связано с тем, что решение таких задач носит творческий, исследовательский характер. Очень часто при решении задач с параметрами целесообразно обращаться к наглядно – графическим интерпретациям. В зависимости, от того какая роль отводится в задаче параметру (равноправная или неравноправная с переменной), можно выделить два основных графических приёма. Первый – построение графического образа на координатной плоскости, второй – на. На плоскости функция задает семейство кривых, зависящих от параметра а, строим их и проводим исследования, удовлетворяющие постановке задачи. Понятно, что каждое семейство обладает определенными характерными свойствами, они то и помогают решить задачу. Конечно, далеко не все задачи с параметрами можно решить графическим способом. Выделим самые общие признаки, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод:
➢ в задаче фигурирует лишь один параметр а и одна переменная х,
➢ они задают некоторые аналитические выражения
➢ графики уравнений строятся в системе координат (х; а) несложно.
Сам же процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «читаем» нужную информацию.
Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно три корня
Исходное уравнение равносильно совокупности, выражая параметр а, получаем:.
График этой совокупности – объединение уголка и параболы. Очевидно, лишь прямая пересекает полученное объединение в трех точках.
Пример 2. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значений параметра а?
Решение. Данное уравнение решаем аналогично предыдущему. Оно равносильно совокупности следующих двух уравнений:.
График этой совокупности – объединение уголка и параболы. По рисунку «считываем» ответ: при, а = 0 и исходное уравнение имеет два корня, при а = -1 и а = 1 уравнение имеет три корня, при и уравнение имеет четыре корня.
Ответ: если, а = 0 и, то два корня, если а = -1 и а = 1 , то три корня, если и, то четыре корня.
заключение
Материал, представленный в работе, расширяет кругозор учащихся, пополняет теоретические знания и практические навыки по решению уравнений, содержащих абсолютную величину числа.
В процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» мы:
1. Изучили литературу по данному вопросу.
2. Познакомились с алгебраическим и графическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.
3. Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие.
4. Собрали и систематизировали материал для профильного элективного курса «Решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля».
и пришли к выводу:
1. В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться геометрический способ решения, который, к сожалению, не всегда применим, из-за сложности изображения линий входящих в условие задачи.
2. При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым.
3. Данная тема представляет большие возможности для проявления исследовательских и творческих умений при решении задач.
Остаётся ещё много интересных и важных задач, имеющих не только теоретическое, но и сугубо практическое значение. К перспективе следует отнести создание проекта « Алгебраический и графический подходы к решению уравнений и неравенств с модулем», содержащего подборку задач и мультимедийную презентацию к ним.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Начиная подготовку к экзамену по истории, важно сразу же определиться с учебной литературой. В зависимости от того, какие материалы вы будете использовать, будет зависеть и качество вашей подготовки.
В качестве основной литературы можно предложить следующее:
А) Справочники и краткие учебники.
Например, справочник В.В. Барабанова или Л.А. Кацвы.
По этим книгам особенно хорошо заниматься, если у вас уже имеется определенная база знаний по истории, если вам не нужно подробно разъяснять каждый термин
. В таких пособиях материал изложен тезисно, в стиле конспекта.
Так что если вы изучаете определенную тему по учебнику Орлова и чувствуете, что не понимаете каких-то ключевых, основополагающих моментов, то лучше заглянуть в соответствующий параграф школьного
учебника, где та же тема изложена более доходчиво и понятно.
Б) Школьные учебники.
Например, серия учебников для 6-9 класса А.А. Данилова.
Эти учебники написаны простым и доступным языком, материал в них изложен очень подробно. Все ключевые понятия, имена и даты отдельно выделены в тексте. Каждый параграф сопровождается иллюстративным материалом и списком терминов.
Если вам нужно подготовиться к истории с «нуля», то линейка Данилова - идеальный вариант. Однако, если до экзамена осталось только 3 месяца, то нет смысла пытаться освоить за такое время всю серию школьных учебников по истории.
В случае, если вы видите, что вам нужно больше знаний, чем предлагается в справочнике и/или в школьном учебнике по конкретной теме (например, для исторического сочинения), то стоит обратиться к более сложным (вузовским) учебникам.
В) Вузовские учебники (повышенный уровень).
Например, учебник А.Н. Сахарова (по всем периодам). Среди вузовской литературы можно найти много авторов, которые специализируются на отдельных исторических периодах (например, история России до 1861 г. - Н.И. Павленко, период 20 века - Э.М. Щагин и т.д.).
Вузовские учебники помогут вам сформировать более глубокие исторические знания.
Благодаря этому вы сможете лучше понимать и объяснять сложные причинно-следственные связи, суть исторических событий и процессов. Это же пригодится вам и при решении задания №24, связанного с подбором аргументов.
Так что если вы рассчитываете на высокий балл, то обратиться к вузовским учебникам будет не лишним. В то же время, если у вас нет хорошей базы по истории
, то не стоит читать один только учебник Сахарова и не обращать внимания на более «простую» литературу из пункта а) и б).
Г) Таблицы и схемы.
Например, схемы А.С. Орлова или В.В. Кириллова.
Эти книги помогают визуально систематизировать информацию
, более четко представить последовательность событий или систему причинно-следственных связей.
Поэтому готовые схемы и таблицы будут весьма кстати в качестве дополнения к основному учебнику. Кроме того, с помощью подобных изданий очень удобно повторять
уже пройденный материал. Просматривать наглядные схемы куда проще, чем перечитывать сплошной текст в учебнике.
Д) Атласы.
Например, атласы издательства «Дрофа».
Учитывая, что целых четыре задания на экзамене требуют анализа картографических материалов, необходимо заранее оттачивать навыки работы с картами.
Когда вы изучаете какой-либо период, не забывайте параллельно работать с исторической картой. Атласы издательства «Дрофа», помимо собственно карт, содержат также множество иллюстраций, что также весьма полезно при подготовке к ЕГЭ.
Естественно, что эти предложенные варианты - не единственно правильные и возможные. Существует еще много других достойных книг, которые мы будем постепенно рассматривать в следующих публикациях.
Кстати, отдельное внимание следует уделять учебным пособиям, которые специализируются на конкретных сложных заданиях (анализ исторического источника; работа с картами; анализ изображений; историческое сочинение). Посмотреть обзоры этих книг можно и на нашем сайте.
Например:
Атласы по истории России: зачем они нужны?
Доброе время суток, дорогие друзья! На связи админ 🙂
Важным фактором подготовки к ЕГЭ по истории является . Об этом у нас был отдельный пост, доступный по линку.
Разумеется лучше использовать специализированные атласы по истории России для такой работы. Однако многие абитуриенты не совсем понимают, зачем нужны атласы: есть же учебники с картами, есть пособия. Поэтому большинство из них атласы не покупают: дорого, в магазинах не всегда можно найти..., и вообще, кто живет в деревнях да в селах — атлас по истории России — непозволительная роскошь.
Между тем, на мой взгляд атлас по изучаемому периоду отечественной истории должен быть постоянно на Вашем столе при подготовке к ЕГЭ: при изучении новой темы, при решении тестов. Да,да, на первых этапах лучше пользоваться атласом при решении тестов: забыли что-то посмотрели — про себя отметили, что надо запомнить — и работаете дальше.
1. Находить любую информацию по любому периоду, используя только атлас. То есть Вы должны иметь сформированное представление обо всех периодах отечественной истории.
2. Без проблем ориентироваться в сторонах света и соотносить с ними разные государства, окружавшие Россию. Я уже не говорю о том, что вы должны уметь соотносить со сторонами света столицы нашего государства в разные исторические периоды: Киев, Москва, Санкт-Петербург и пр.
3. Иметь целостное представление о торговых путях, войнах, направлении движений армий в периоды разных войн.
5. Уметь прослеживать по исторической карте атласов социально-экономические и политические процессы. Например, оценивать уровень развития промышленности по отраслям и пр.
6. Свободно наносить на контурные карты данного периода истории России любую нужную информацию.
7. При решении тестов местоположения городов, стран и армий должно быть в мобилизованном состоянии в голове.
Как видите, такой уровень владения исторической информацией достигается только систематическим использованием атласов по истории России при подготовке к ЕГЭ по истории. В идеале повторять материал надо тоже по картам. Человеку только сейчас начавшему готовиться к ЕГЭ по истории будет трудно всё это освоить. Особенно если Ваша цель — 100 баллов по истории. Специально для Вас и был разработан видеокурс .
Где карты совмещены с презентацией изучаемого материала. Для всех остальных я могу предложить атласы по истории России, которые можно скачать тут:
Скачать атласы по истории России
С уважением, Андрей (Dreammanhist) Пучков
Загрузка...
