Как определить систему координат координатам. Декартовы прямоугольные системы координат. Продолжаем решать задачи вместе

Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Связанные термины: декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названной так по имени Рене Декарта), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не прямоугольную) .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат и O {\displaystyle O} , которая называется началом координат , на каждой оси выбрано положительное направление.

  Положение точки A {\displaystyle A} на плоскости определяется двумя координатами x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} . Координата x {\displaystyle x} равна длине отрезка O B {\displaystyle OB} , координата y {\displaystyle y} - длине отрезка O C {\displaystyle OC} O B {\displaystyle OB} и O C {\displaystyle OC} определяются линиями, проведёнными из точки A {\displaystyle A} параллельно осям Y ′ Y {\displaystyle Y"Y} и X ′ X {\displaystyle X"X} соответственно.

  При этом координате x {\displaystyle x} B {\displaystyle B} лежит на луче (а не на луче O X {\displaystyle OX} , как на рисунке). Координате y {\displaystyle y} приписывается знак минус, если точка C {\displaystyle C} лежит на луче . Таким образом, O X ′ {\displaystyle OX"} и O Y ′ {\displaystyle OY"} являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

  Ось x {\displaystyle x} называется осью абсцисс, а ось y {\displaystyle y} - осью ординат. Координата x {\displaystyle x} называется абсциссой точки A {\displaystyle A} , координата y {\displaystyle y} - ординатой точки A {\displaystyle A} .

  A (x , y) {\displaystyle A(x,\;y)} A = (x , y) {\displaystyle A=(x,\;y)}

  или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

  x A , x B {\displaystyle x_{A},x_{B}}

  Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах - см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат O X {\displaystyle OX} , O Y {\displaystyle OY} и O Z {\displaystyle OZ} . Оси координат пересекаются в точке O {\displaystyle O} , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно ) одинаковы для всех осей. O X {\displaystyle OX} - ось абсцисс , O Y {\displaystyle OY} - ось ординат , O Z {\displaystyle OZ} - ось аппликат .

  Положение точки A {\displaystyle A} в пространстве определяется тремя координатами x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} . Координата x {\displaystyle x} равна длине отрезка O B {\displaystyle OB} , координата y {\displaystyle y} - длине отрезка O C {\displaystyle OC} , координата z {\displaystyle z} - длине отрезка O D {\displaystyle OD} в выбранных единицах измерения. Отрезки O B {\displaystyle OB} , O C {\displaystyle OC} и O D {\displaystyle OD} определяются плоскостями, проведёнными из точки A {\displaystyle A} параллельно плоскостям Y O Z {\displaystyle YOZ} , X O Z {\displaystyle XOZ} и X O Y {\displaystyle XOY} соответственно.

  Координата x {\displaystyle x} называется абсциссой точки A {\displaystyle A} , координата y {\displaystyle y} - ординатой точки A {\displaystyle A} , координата z {\displaystyle z} - аппликатой точки A {\displaystyle A} .

  Символически это записывают так:

  A (x , y , z) {\displaystyle A(x,\;y,\;z)} A = (x , y , z) {\displaystyle A=(x,\;y,\;z)}

  или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

  x A , y A , z A {\displaystyle x_{A},\;y_{A},\;z_{A}}

  Каждая ось рассматривается как числовая прямая , т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B {\displaystyle B} лежала не как на рисунке - на луче O X {\displaystyle OX} , а на его продолжении в обратную сторону от точки O {\displaystyle O} (на отрицательной части оси O X {\displaystyle OX} ), то абсцисса x {\displaystyle x} точки A {\displaystyle A} была бы отрицательной (минус расстоянию O B {\displaystyle OB} ). Аналогично и для двух других осей.

  Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса - правые (также используются термины положительные , стандартные ) и левые . Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси O X {\displaystyle OX} против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси O Y {\displaystyle OY} , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси O Z {\displaystyle OZ} ).

  Прямоугольная система координат в многомерном пространстве

  Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её n ).

  Для обозначения координат обычно применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

  x 1 , x 2 , x 3 , … x n . {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n}.}

  Для обозначения произвольной i -ой координаты из этого набора используют буквенный индекс:

  а нередко обозначение x i , {\displaystyle x_{i},} используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: i = 1 , 2 , 3 , … n {\displaystyle i=1,2,3,\dots n} .

  В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет .

  Прямоугольные координаты вектора

  Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца .

  Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

  1. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесенного так, что его начало совпадает с началом координат, - это координаты его конца.
  2. Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.
  • Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

  В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

  • Сложение и умножение на скаляр:
  a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , … , a n + b n) {\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\dots ,a_{n}+b_{n})} (a + b) i = a i + b i , {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b})_{i}=a_{i}+b_{i},} c a = (c a 1 , c a 2 , c a 3 , … , c a n) {\displaystyle c\ \mathbf {a} =(c\ a_{1},c\ a_{2},c\ a_{3},\dots ,c\ a_{n})} (c a) i = c a i . {\displaystyle (c\ \mathbf {a})_{i}=c\ a_{i}.} а отсюда и вычитание и деление: a − b = (a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 , … , a n − b n) {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},\dots ,a_{n}-b_{n})} (a − b) i = a i − b i , {\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {b})_{i}=a_{i}-b_{i},} a λ = (a 1 λ , a 2 λ , a 3 λ , … , a n λ) {\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\Big (}{\frac {a_{1}}{\lambda }},{\frac {a_{2}}{\lambda }},{\frac {a_{3}}{\lambda }},\dots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}{\Big)}} (a λ) i = a i λ . {\displaystyle {\Big (}{\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}{\Big)}_{i}={\frac {a_{i}}{\lambda }}.}

  (Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

  a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}} a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}

  (Только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

  • Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора
  | a | = a ⋅ a {\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}} и угол между векторами ∠ (a , b) = a r c c o s a ⋅ b | a | ⋅ | b | {\displaystyle \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b})}=\mathrm {arccos} {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |}}}
  • и k {\displaystyle \mathbf {k} } e x {\displaystyle \mathbf {e} _{x}} , e y {\displaystyle \mathbf {e} _{y}} и e z {\displaystyle \mathbf {e} _{z}} .

    Могут также применяться обозначения со стрелками ( i → {\displaystyle {\vec {i}}} , j → {\displaystyle {\vec {j}}} и k → {\displaystyle {\vec {k}}} или e → x {\displaystyle {\vec {e}}_{x}} , e → y {\displaystyle {\vec {e}}_{y}} и e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{z}} ) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

    При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

    Для более высоких, чем 3, размерностей (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто это

    e 1 , e 2 , e 3 , … e n , {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\dots \mathbf {e} _{n},}

    где n - размерность пространства.

    Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

    a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n {\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}} a = ∑ i = 1 n a i e i , {\displaystyle \mathbf {a} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {e} _{i},} Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

    Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке. Использование ортов восходит, по-видимому, к

  Определение положения точки в пространстве

  Итак, положение какой-либо точки в пространстве может быть определено только по отношению к каким-либо другим точкам. Та точка, относительно которой рассматривается положение других точек, называется точкой отсчете . Мы так же применим и другое наименование точки отсчета – точка наблюдения . Обычно с точкой отсчета (или с точкой наблюдения) связывают какую-либо систему координат , которую и называют системой отсчета. В выбранной системе отсчета положение КАЖДОЙ точки определяется ТРЕМЯ координатами.

  Правая декартова (или прямоугольная) система координат

  Эта система координат представляет собой три взаимно перпендикулярных направленных прямых, называемых так же осями координат , пересекающихся в одной точке (начале координат). Точка начала координат обычно обозначается буквой О.

  Оси координат носят названия:

  1. Ось абсцисс – обозначается как OX;

  2. Ось ординат – обозначается как OY;

  3. Ось аппликат – обозначается как OZ

  
  

  Теперь объясним, почему эта система координат называется правой. Давайте посмотрим на плоскость XOY с положительного направления оси OZ, например из точки А, как это показано на рисунке.

  Предположим, что мы начинаем поворачивать ось OX вокруг точки О. Так вот – правая система координат имеет такое свойство, что, если смотреть на плоскость XOY из какой-либо точки положительной полуоси OZ (у нас – это точка А), то, при повороте оси OX на 90 против часовой стрелки, её положительное направление совпадет с положительным направлением оси OY.

  Такое решение было принято в научном мире, нам же остается принимать это так, как оно есть.

  
  

  Итак, после того, как мы определились с системой отсчета (в нашем случае – правой декартовой системой координат), положение любой точки описывается через значения её координат или другими словами – через величины проекций этой точки на оси координат.

  Записывается это так: A(x, y, z), где x, y, z – и есть координаты точки А.

  Прямоугольную систему координат можно представить себе, как линии пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей.

  Следует заметить, что ориентировать прямоугольную систему координат в пространстве можно как угодно, при этом надо выполнить только одно условие – начало координат должно совпадать с центром отсчета (или точкой наблюдения).

  
  

  Сферическая система координат

  Положение точки в пространстве можно описать и другим способом. Предположим, что мы выбрали область пространства, в котором располагается точка отсчета О (или точка наблюдения), и еще нам известно расстояние от точки отсчета до некоторой точки А. Соединим эти две точки прямой ОА. Эта прямая называется радиус-вектором и обозначается, как r . Все точки, имеющие одно и тоже значение радиус-вектора, лежат на сфере, центр которой находится в точке отсчета (или точке наблюдения), а радиус этой сферы равен, соответственно радиус-вектору.

  Таким образом, нам становится очевидным, что знание величины радиус-вектора не дает нам однозначного ответа о положении интересующей нас точки. Нужны еще ДВЕ координаты, ведь для однозначного определения местоположения точки количество координат должно равняться ТРЕМ.

  Далее мы поступим следующим образом – построим две взаимно перпендикулярные плоскости, которые, естественно, дадут линию пересечения, и эта линия будет бесконечной, потому как и сами плоскости ничем не ограничены. Зададим на этой линии точку и обозначим ее, ну например, как точка О1. А теперь совместим эту точку О1 с центром сферы – точкой О и посмотрим, что получается?

  А получается очень интересная картина:

  · Как одна, так и другая плоскости будут центральными плоскостями.

  · Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы обозначат большие круги

  · Один из этих кругов – произвольно, мы назовем ЭКВАТОРОМ , тогда другой круг будет называться ГЛАВНЫМ МЕРИДИАНОМ.

  · Линия пересечения двух плоскостей однозначно определит направление ЛИНИИ ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА.

  
  

  Точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы обозначим, как М1 и М2

  Через центр сферы точку О в плоскости главного меридиана проведем прямую, перпендикулярную линии главного меридиана. Эта прямая носит название ПОЛЯРНАЯ ОСЬ .

  Полярная ось пересечет поверхность сферы в двух точках, которые называются ПОЛЮСАМИ СФЕРЫ. Обозначим эти точки, как Р1 и Р2.

  Определение координат точки в пространстве

  Теперь рассмотрим процесс определения координат точки в пространстве, а так же дадим наименования этим координатам. Для полноты картины, при определении положения точки, укажем основные направления, от которых производится отсчет координат, а так же положительное направление при отсчете.

  1. Задаем положение в пространстве точки отсчета (или точки наблюдения). Обозначим эту точку буквой О.

  2. Строим сферу, радиус которой равен длине радиус-вектора точки А. (Радиус-вектор точки А – это расстояние между точками О и А). Центр сферы располагается в точке отсчета О.

  
  

  3. Задаем положение в пространстве плоскости ЭКВАТОРА, а соответственно плоскости ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА. Следует напомнить, что эти плоскости взаимно перпендикулярны и являются центральными.

  4. Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы определяет нам положение круга экватора, круга главного меридиана, а так же направление линии главного меридиана и полярной оси.

  5. Определяем положение полюсов полярной оси и полюсов линии главного меридиана. (Полюса полярной оси – точки пересечение полярной оси с поверхностью сферы. Полюса линии главного меридиана – это точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы).

  
  

  6. Через точку А и полярную ось строим плоскость, которую назовем плоскостью меридиана точки А. При пересечении этой плоскости с поверхностью сферы получится большой круг, который мы назовем МЕРИДИАНОМ точки А.

  7. Меридиан точки А пересечет круг ЭКВАТОРА в некоторой точке, которую мы обозначим, как Е1

  8. Положение точки Е1 на экваториальном круге определяется длиной дуги, заключенной между точками М1 и Е1. Отсчет ведется ПРОТИВ часовой стрелки. Дуга экваториального круга, заключенная между точками М1 и Е1 называется ДОЛГОТОЙ точки А. Долгота обозначается буквой  .

  Подведем промежуточный итог. На данный момент нам известны ДВЕ из ТРЕХ координат, описывающих положение точки А в пространстве – это радиус-вектор (r) и долгота (). Теперь мы будем определять третью координату. Эта координата определяется положением точки А на ее меридиане. Но вот положение начальной точки, от которой происходит отсчет, однозначно не определено: мы можем начинать отсчет как от полюса сферы (точка Р1), так и от точки Е1, то есть от точки пересечения линий меридиана точки А и экватора (или другими словами – от линии экватора).

  
  

  В первом случае, положение точки А на меридиане называется ПОЛЯРНЫМ РАССТОЯНИЕМ (обозначается как р ) и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Р1 (или точкой полюса сферы) и точкой А. Отсчет ведется вдоль линии меридиана от точки Р1 к точке А.

  Во втором случае, когда отсчет ведется от линии экватора, положение точки А на линии меридиана называется ШИРОТОЙ (обозначается как   и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Е1 и точкой А.

  Теперь мы можем окончательно сказать, что положение точки А в сферической системе координат определяется через:

  · длину радиуса сферы (r),

  · длину дуги долготы (),

  · длину дуги полярного расстояния (р)

  В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , p)

  Если пользоваться иной системой отсчета, то положение точки А в сферической системе координат определяется через:

  · длину радиуса сферы (r),

  · длину дуги долготы (),

  · длину дуги широты ()

  В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , )

  Способы измерения дуг

  Возникает вопрос – как же нам измерить эти дуги? Самый простой и естественный способ – это провести непосредственное измерение длин дуг гибкой линейкой, и это возможно, если размеры сферы сравнимы с размерами человека. Но как поступить, если это условие не выполнимо?

  В этом случае мы прибегнем к измерению ОТНОСИТЕЛЬНОЙ длины дуги. За эталон же мы примем длину окружности, частью которой является интересующая нас дуга. Как это можно сделать?

  4.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ

  В топографии наиболее широкое распространение получили прямоугольные координаты. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные линии - O Х и OY . Эти линии называют осями координат, а точка их пересечения (O ) - началом координат.

  Рис. 4.1. Прямоугольные координаты

  Положение любой точки на плоскости можно легко определить, если указать кратчайшие расстояния от осей координат до данной точки. Кратчайшими расстояниями являются перпендикуляры. Расстояния по перпендикулярам от осей координат до данной точки называют прямоугольными координатами этой точки. Отрезки, параллельные оси X , называют координатами х А , а параллельные оси Y - координатами у А .
  Четверти прямоугольной системы координат нумеруются. Их счет идет по ходу часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс - I, II, III, IV (рис. 4.1).
  Прямоугольные координаты, о которых шла речь, применяют на плоскости. Отсюда они получили название плоских прямоугольных координат. Эту систему координат применяют на небольших участках местности, принимаемых за плоскость.

  4.2. ЗОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

  При рассмотрении вопроса «Проекции топографических карт» было отмечено, что поверхность Земли проектируется на поверхность цилиндра, который касается поверхности Земли по осевому меридиану. При этом на цилиндр проектируется не вся поверхность Земли, а лишь часть ее, ограниченная 3° долготы на запад и 3° на восток от осевого меридиана. Поскольку каждая из проекций Гаусса передает на плоскость только фрагмент поверхности Земли, ограниченный меридианами через 6° долготы, то всего на поверхность Земли должно быть составлено 60 проекций (60 зон). В каждой из 60 проекций образуется отдельная система прямоугольных координат.
  В каждой зоне осью X является средний (осевой) меридиан зоны, вынесенный западнее на 500 км от своего фактического положения, а осью Y - экватор (рис. 4.2).

  
  Рис. 4.2. Система прямоугольных координат
  на топографических картах

  Пересечение вынесенного осевого меридиана с экватором будет началом координат: х = 0, у = 0 . Точка пересечения экватора и фактического осевого меридиана имеет координаты: х = 0, у = 500 км.
  В каждой зоне имеется свое начало координат. Счет зон ведется от Гринвичского меридиана на восток. Первая шестиградусная зона расположена между Гринвичским меридианом и меридианом с восточной долготой 6º(осевой меридиан 3º). Вторая зона - 6º в.д. - 12º в.д (осевой меридиан 9º). Третья зона - 12º в.д. - 18º в.д. (осевой меридиан 15º). Четвертая зона - 18º в.д. - 24º в.д. (осевой меридиан 21º) и т.д.
  Номер зоны обозначен в координате у первой цифрой. Например, запись у = 4 525 340 означает, что заданная точка находится в четвертой зоне (первая цифра) на расстоянии 525 340 м от осевого меридиана зоны, вынесенного западнее 500 км.
  

  Чтобы определить номер зоны по географическим координатам, необходимо к долготе, выраженной в целых числах градусов, прибавить 6 и полученную сумму разделить на 6. В результате деления оставляем только целое число.
  

  Пример. Определить номер зоны Гаусса для точки, имеющей восточную долготу 18º10".
  Решение. К целому числу градусов долготы 18 прибавляем 6 и сумму делим на 6
  (18 + 6) / 6 = 4.
  Наша карта находится в четвертой зоне.

  Затруднения при использовании зональной системы координат возникают в тех случаях, когда топографо-геодезические работы проводятся на приграничных участках, расположенных в двух соседних (смежных) зонах. Координатные линии таких зон располагаются под углом друг к другу (рис 4.3).
  

  Для ликвидации возникающих осложнений введена полоса перекрытия зон , в которой координаты точек могут быть вычислены в двух смежных системах. Ширина полосы перекрытия 4°, по 2° в каждой зоне.
  

  Дополнительная сетка на карте наносится лишь в виде выходов ее линий между минутной и внешней рамками. Оцифровка ее является продолжением оцифровки линий сетки смежной зоны. Линии дополнительной сетки подписывают за внешней рамкой листа . Следовательно, на листе карты, расположенном в восточной зоне, при соединении одноименных выходов дополнительной сетки получают километровую сетку западной зоны. Пользуясь этой сеткой, можно определить, например, прямоугольные координаты точки В в системе прямоугольных координат западной зоны, т. е. прямоугольные координаты точек А и В будут получены в одной системе координат западной зоны.

  

  Рис. 4.3. Дополнительные километровые линии на границе зон

  На карте масштаба 1:10 000 дополнительная сетка разбивается только на тех листах, у которых восточный или западный меридиан внутренней рамки (рамки трапеции) является границей зоны. На топографических планах дополнительная сетка не наносится.

  4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ-ИЗМЕРИТЕЛЯ

  Важным элементом топографической карты (плана) является прямоугольная сетка. На все листы данной 6-градусной зоны сетку наносят в виде рядов линий, параллельных осевому меридиану и экватору (рис. 4.2). Вертикальные линии сетки параллельны осевому меридиану зоны, а горизонтальные - экватору. Счет горизонтальных километровых линий ведется снизу вверх, а вертикальных - слева направо .
  

  Интервалы между линиями на картах масштабов 1:200 000 - 1:50 000 составляют 2 см, 1:25 000 - 4 см, 1:10 000 - 10 см, что соответствует целому числу километров на местности. Поэтому прямоугольную сетку называют еще километровой , а ее линии - километровыми .
  Километровые линии, ближайшие к углам рамки листа карты, подписывают полным числом километров, остальные - двумя последними цифрами. Надпись 60 65 (см. рис. 4.4) на одной из горизонтальных линий означает, что эта линия удалена oт экватора на 6065 км (к северу): надпись 43 07 у вертикальной линии означает, что она находится в четвертой зоне и удалена от начала счета ординат к востоку на 307 км. Если около вертикальной километровой линии записано трехзначное число мелкими цифрами, две первые обозначают номер зоны .

  Пример. Надо определить по карте прямоугольные координаты точки местности, например, пункта государственной геодезической сети (ГГС) с отметкой 214,3 (рис. 4.4). Сначала записывают (в километрах) абсциссу южной стороны квадрата, в котором находится эта точка (т. е. 6065). Затем с помощью циркуля-измерителя и линейного масштаба определяют длину перпендикуляра Δх = 550 м , опушенного из заданной точки на эту линию. Полученную величину (в данном случае 550 м) добавляют к абсциссе линии. Число 6 065 550 есть абсцисса х пункта ГГС.
  Ордината пункта ГГС равна ординате западной стороны того же квадрата (4307 км), сложенной с длиной перпендикуляра Δу = 250 м, измеренного по карте. Число 4 307 250 есть ордината того же пункта.
  При отсутствии циркуля-измерителя расстояния измеряют линейкой или полоской бумаги .

  

  х = 6065550, у = 4307250
  Рис. 4.4. Определение прямоугольных координат с помощью линейного масштаба

  4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТОМЕРА

  Координатомер - небольшой угольник с двумя перпендикулярными сторонами. По внутренним ребрам линеек нанесены шкалы, длины которых равны длине стороны координатных клеток карты данного масштаба. Деления на координатомер переносят с линейного масштаба карты.
  Горизонтальная шкала совмещается с нижней линией квадрата (в котором находится точка), а вертикальная шкала должна проходить через данную точку. По шкалам определяют расстояния от точки до километровых линий.

  
  х А = 6135 350 у А = 5577 710
  Рис. 4.5. Определение прямоугольных координат с помощью координатомера

  4.5. НАНЕСЕНИЕ НА КАРТУ ТОЧЕК ПО ЗАДАННЫМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ

  Чтобы нанести на карту точку по заданным прямоугольным координатам, поступают следующим образом: в записи координат находят двузначные числа, которыми сокращенно обозначены линии прямоугольной сетки. По первому числу находят на карте горизонтальную линию сетки, по второму - вертикальную. Их пересечение образует юго-западный угол квадрата, в котором лежит искомая точка. На восточной и западной сторонах квадрата откладывают от его южной стороны два равных отрезка, соответствующих в масштабе карты числу метров в абсциссе х . Концы отрезков соединяют прямой линией и на ней от западной стороны квадрата откладывают в масштабе карты отрезок, соответствующий числу метров в ординате; конец этого отрезка является искомой точкой.

  4.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА ПО ГЕОГРАФИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ

  Плоские прямоугольные координаты Гаусса х и у весьма сложно связаны с географическими координатами φ (широта) и λ (долгота) точек земной поверхности. Предположим, что некоторая точка А имеет географические координаты φ и λ . Поскольку разность долгот граничных меридианов зоны равна 6°, то соответственно для каждой из зон можно получить долготы крайних меридианов: 1-я зона (0° - 6°), 2-я зона (6° - 12°), 3-я зона (12° - 18°) и т.д. Таким образом, по географической долготе точки А можно определить номер зоны, в которой эта точка находится. При этом долгота λ ос осевого меридиана зоны определится по формуле
  λ ос = (6°n - 3°),
  в которой n - номер зоны.
  

  Для определения плоских прямоугольных координат х и у по географическим координатам φ и λ воспользуемся формулами, выведенными для референц-эллипсоида Красовского (референц-эллипсоид - фигура, максимально приближенная к фигуре Земли в той ее части, на которой находится данное государство, либо группа государств):

  х = 6367558,4969 (φ рад ) − {a 0 − l 2 N}sin φ cos φ (4.1)
  у (l) = lNcos φ (4.2)
  

  В формулах (4.1) и (4.2) приняты следующие обозначения:
  у(l) - расстояние от точки до осевого меридиана зоны;
  l = (λ - λ ос ) - разность долгот определяемой точки и осевого меридиана зоны);
  φ рад - широта точки, выраженная в радианной мере;
  N = 6399698,902 - cos 2 φ;
  а 0 = 32140,404 - cos 2 φ;
  а 3 = (0,3333333 + 0,001123 cos 2 φ) cos 2 φ - 0,1666667;
  а 4 = (0,25 + 0,00252 cos 2 φ) cos 2 φ - 0,04166;
  а 5 = 0,0083 - cos 2 φ;
  а 6 = (0,166 cos 2 φ - 0,084) cos 2 φ.
  у" - расстояние от осевого меридиана отнесенного западнее 500 км.

  По формуле (4.1) значение координаты у(l) получают относительно осевого меридиана зоны, т.е. оно может получиться со знаками «плюс» для восточной части зоны или «минус» - для западной части зоны. Для записи координаты y в зональной системе координат необходимо вычислить расстояние до точки от осевого меридиана зоны, отнесенного западнее на 500 км (у "в таблице) , а впереди полученного значения приписать номер зоны. Например, получено значение
  у(l) = -303678,774 м в 47 зоне.
  Тогда
  у = 47 (500000,000 - 303678,774) = 47196321,226 м.
  Для вычислений используем электронные таблицы MicrosoftXL .

  Пример . Вычислить прямоугольные координаты точки, имеющей географические координаты:
  φ = 47º02"15,0543" с.ш.; λ = 65º01"38,2456" в.д.

  В таблицу MicrosoftXL вводим исходные данные и формулы (таб. 4.1).

  Таблица 4.1.

  				D	E	F
  		Параметр	Вычисления	Град
  		φ (град)	D2+E2/60+F2/3600
  		φ (рад)	РАДИАНЫ(C3)
  		Cos 2 φ
  		№ зоны	ЦЕЛОЕ((D8+6)/6)
  		λос (град)
  		l (град)	D11+E11/60+F11/3600
  		l (рад)	РАДИАНЫ(C12)
  			6399698,902-((21562,267- (108,973-0,612*C6^2)*C6^2))*C6^2
  		а 0	32140,404-((135,3302- (0,7092-0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2
  		а 4	=(0,25+0,00252*C6^2)*C6^2-0,04166
  		а 6	=(0,166*C6^2-0,084)*C6^2
  		а 3	=(0,3333333+0,001123*C6^2)*C6^2-0,1666667
  		а 5	0,0083-((0,1667-(0,1968+0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2
  			6367558,4969*C4-(((C15-(((0,5+(C16+C17*C20)*C20)) *C20*C14)))*C5*C6)
  			=((1+(C18+C19*C20)*C20))*C13*C14*C6
  			ОКРУГЛ((500000+C23);3)
  			СЦЕПИТЬ(C9;C24)

  
  

  Вид таблицы после вычислений (таб. 4.2).

  Таблица 4.2.

  		Параметр	Вычисления	Град
  		φ (град, мин, сек)
  		φ (градусы)
  		φ (радианы)
  		Cos 2 φ
  		λ (град, мин, сек)
  		Номер зоны
  		λос (град)
  		l (мин, сек)
  		l (градусы)
  		l (радианы)
  		а 0
  		а 4
  		а 6
  		а 3
  		а 5

  
  

  4.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПО ПЛОСКИМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ ГАУССА

  Для решения данной задачи также используются формулы пересчета, полученные для референц-эллипсоида Красовского.
  Предположим, что нам необходимо вычислить географические координаты φ и λ точки А по ее плоским прямоугольным координатам х и у , заданным в зональной системе координат. При этом значение координаты у записано с указанием номера зоны и с учетом переноса осевого меридиана зоны западнее на 500 км.
  Предварительно по значению у находят номер зоны, в которой расположена определяемая точка, по номеру зоны определяют долготу λ o осевого меридиана и по расстоянию от точки до отнесенного на запад осевого меридиана находят расстояние у(l) от точки до осевого меридиана зоны (последнее может быть со знаком плюс или минус).
  Значения географических координат φ и λ по плоским прямоугольным координатам х и у находят по формулам:
  φ = φ х - z 2 b 2 ρ″ (4.3)
  λ = λ 0 + l (4.4)
  l = zρ″ (4.5)

  В формулах (4.3) и (4.5) :
  φ х ″= β″ +{50221746 + cos 2 β}10-10sinβcosβ ρ″;
  β″ = (Х / 6367558,4969) ρ″; ρ″ = 206264,8062″ - число секунд в одном радиане
  z = У(L) / (Nx сos φx);
  N х = 6399698,902 - cos 2 φ х;
  b 2 = (0,5 + 0,003369 cos 2 φ х) sin φ х cos φ х;
  b 3 = 0,333333 - (0,166667 - 0,001123 cos2 φ х) cos2 φ х;
  b 4 = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 сos 2 φ х) cos 2 φ х;
  b 5 = 0,2 - (0,1667 - 0,0088 сos 2 φ х) cos 2 φ х.

  Для вычислений используем электронные таблицы MicrosoftXL .
  Пример . Вычислить географические координаты точки по прямоугольным:
  x = 5213504,619; y = 11654079,966.

  В таблицу MicrosoftXL вводим исходные данные и формулы (таб. 4.3).

  Таблица 4.3.

  1 Параметр Вычисление Град. Мин. Сек. 2 1 х 5213504,619 2 у 11654079,966 4 3 №*зоны ЕСЛИ(C3<1000000; C3/100000;C3/1000000) 5 4 № зоны ЦЕЛОЕ(C4) 6 5 λоос C5*6-3 7 6 у" C3-C5*1000000 8 7 у(l) C7-500000 9 8 ρ″ 206264,8062 10 9 β" C2/6367558,4969*C9 11 10 β рад РАДИАНЫ(C10/3600) 12 11 β ЦЕЛОЕ (C10/3600) ЦЕЛОЕ ((C10-D12*3600)/60) C10-D12* 3600-E12*60 13 12 Sin β SIN(C11) 14 13 Cos β COS(C11) 15 14 Cos 2 β C14^2 16 15 φ х " C10+(((50221746+((293622+ (2350+22*C14^2)*C14^2))*C14^2))) *10^-10*C13*C14*C9 17 16 φ х рад РАДИАНЫ(C16/3600) 18 17 φ х ЦЕЛОЕ (C16/3600) ЦЕЛОЕ ((C16-D18*3600)/60) C16-D18* 3600-E18*60 19 18 Sin φ. SIN(C17) 20 19 Cos φ х COS(C17) 21 20 Cos 2 φ х C20^2 22 21 N х 6399698,902-((21562,267- (108,973-0,612*C21)*C21))*C21 23 22 Ν х Cosφ х C22*C20 24 23 z C8/(C22*C20) 25 24 z 2 C24^2 26 25 b 4 0,25+(0,16161+0,00562*C21)*C21 27 26 b 2 =(0,5+0,003369*C21)*C19*C20 28 27 b 3 0,333333-(0,166667-0,001123*C21)*C21 29 28 b 5 0,2-(0,1667-0,0088*C21)*C21 30 29 C16-((1-(C26-0,12 *C25)*C25))*C25*C27*C9 31 30 φ =ЦЕЛОЕ (C30/3600) =ЦЕЛОЕ ((C30-D31*3600)/60) =C30-D31* 3600-E31*60 32 31 l" =((1-(C28-C29*C25)*C25))*C24*C9 33 32 l 0 =ЦЕЛОЕ (C32/3600) =ЦЕЛОЕ ((C32-D33*3600)/60) =C32-D33* 3600-E33*60 34 33 λ C6+D33

  
  

  Вид таблицы после вычислений (таб. 4.4).

  Таблица 4.4.

  		Параметр	Вычисление	Град.
  		Номер зоны *
  		Номер зоны
  		λоос (град)
  		у"
  		β рад
  		Cos 2 β
  		φ х "
  		φ х рад
  		φ х
  		Cos φ х
  		Cos 2 φ х
  		N х
  		Ν х Cos φ х
  		z 2
  		b 4
  		b 2
  		b 3
  		b 5
  		φ
  		l 0
  		λ

  Если вычисления произведены верно, копируем обе таблицы на один лист, скрываем строки промежуточных вычислений и колонку № п/п, а оставляем только строки ввода исходных данных и результатов вычислений. Форматируем таблицу и корректируем названия колонок и столбцов по вашему усмотрению.

  Рабочие таблицы могут выглядеть так
  

  Таблица 4.5.

  
  

  Примечания .
  1. В зависимости от требуемой точности можно увеличить или уменьшить разрядность.
  2. Количество строк в таблице можно сократить, объединив вычисления. Например, радианы угла не вычислять отдельно, а сразу записать в формулу =SIN(РАДИАНЫ(C3)).
  3. Округление в п. 23 табл. 4.1. производим для «сцепления». Число разрядов в округлении 3.
  4. Если не изменить формат ячеек в колонках «Град» и «Мин», то нулей перед цифрами не будет. Изменение формата здесь выполнено только для зрительного восприятия (по решению автора) и на результаты вычислений не влияет.
  5. Чтобы случайно не повредить формулы, следует защитить таблицу: Сервис / Защитить лист. Перед защитой выделить ячейки для ввода исходных данных, а затем: Формат ячеек / Защита / Защищенная ячейка - убрать галочку.

  4.8. СВЯЗЬ ПЛОСКОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМ КООРДИНАТ

  Простота полярной системы координат и возможность ее построения относительно любой точки местности, принимаемой за полюс, обусловили ее широкое применение в топографии. Чтобы связать воедино полярные системы отдельных точек местности, необходимо перейти к определению положения последних в прямоугольной системе координат, которая может быть распространена на значительно большую по площади территорию. Связь между двумя системами устанавливается решением прямой и обратной геодезических задач.
  Прямая геодезическая задача состоит в определении координат конечной точки В (рис. 4.4) линии АВ по длине ее горизонтального проложения d , направлению α и координатам начальной точки х А , у А .

  
  Рис. 4.6. Решение прямой и обратной геодезических задач

  Так, если принять точку А (рис. 4.4) за полюс полярной системы координат, а прямую АВ - за полярную ось, параллельную оси ОХ , то полярными координатами точки В будут d и α . Необходимо вычислить прямоугольные координаты этой точки в системе ХОУ.

  Из рис. 3.4 видно, что х В отличается от х А на величину (х В - х А ) = Δх АВ , а у В отличается от у А на величину (у В - у А ) = Δу АВ . Разности координат конечной В и начальной А точек линии АВ Δх и Δу называют приращениями координат . Приращениями координат являются ортогональные проекции линии АВ на оси координат. Координаты х В и у В могут быть вычислены по формулам:

  х В = х А + Δх АВ (4.1)
  у В = у А + Δу АВ (4.2)

  Значения приращений определяют из прямоугольного треугольника АСВ по заданным d и α, так как приращения Δх и Δу являются катетами этого прямоугольного треугольника:

  Δх АВ =d cos α (4.3)
  Δу АВ = d sin α (4.4)

  Знак приращений координат зависит от угла положения.

  Таблица 4.1.

  Подставив значение приращений Δх АВ и Δу АВ в формулы (3.1 и 3.2), получим формулы для решения прямой геодезической задачи:

  х В = х А + d cos α (4.5)
  у В = у А + d sin α (4.6)

  Обратная геодезическая задача заключается в определении длины горизонтального проложения d и направления α линии АВ по данным координатам ее начальной точки А (хА, уА) и конечной В (хВ, уВ). Угол направления вычисляется по катетам прямоугольного треугольника:

  tg α = (4.7)

  Горизонтальное проложение d , определяют по формуле:

  d = (4.8)

  Для решения прямой и обратной геодезической задачи можно воспользоваться электронными таблицами Microsoft Excel .

  Пример .
  Задана точка А с координатами: х А = 6068318,25; у А = 4313450,37. Горизонтальное проложение (d) между точкой А и точкой В равно 5248,36 м. Угол между северным направлением оси ОХ и направлением на точку В (угол положения - α ) равен 30º.

  Рассчитать прямоугольные координаты точки В (х В , у В ).

  Вводим исходные данные и формулы в электронные таблицы Microsoft Excel (таб. 4.2).

  Таблица 4.2.

  	Исходные данные
  	х А
  	у А
  	Вычисления
  	Δх АВ = d cos α	B4*COS(РАДИАНЫ(B5))
  	Δу АВ = d sin α	B4*SIN(РАДИАНЫ(B5))
  	х В
  	у В

  
  

  Вид таблицы после вычислений (таб. 4.3) .

  Таблица 4.3.

  	Исходные данные
  	х А
  	у А
  	Вычисления
  	Δх АВ = d cos α
  	Δу АВ = d sin α
  	х В
  	у В

  Пример .
  Заданы точки А и В с координатами:
  х А = 6068318,25; у А = 4313450,37;
  х В = 6072863,46; у В = 4313450,37.
  Рассчитать горизонтальное проложение d между точкой А и точкой В, а также угол α между северным направлением оси ОХ и направлением на точку В .
  Вводим исходные данные и формулы в электронные таблицы Microsoft Excel (таб. 4.4).

  Таблица 4.4.

  	Исходные данные
  	х А
  	у А
  	х В
  	у В
  	Вычисления
  	Δх АВ
  	Δу АВ
  		КОРЕНЬ(B7^2+B8^2)
  	Тангенс
  	Арктангенс
  	Градусы	ГРАДУСЫ(B11)
  	Выбор	ЕСЛИ(B12<0;B12+180;B12)
  	Угол положения (град)	ЕСЛИ(B8<0;B13+180;B13)

  Вид таблицы после вычислений (таб. 4.5).

  Таблица 4.5.

  	Исходные данные
  	х А
  	у А
  	х В
  	у В
  	Вычисления
  	Δх АВ
  	Δу АВ
  	Тангенс
  	Арктангенс
  	Градусы
  	Выбор
  	Угол положения (град)

  Если ваши вычисления совпали с вычислениями учебного пособия, скройте промежуточные расчеты, отформатируйте и защитите таблицу.

  Видео
  Прямоугольные координаты

  Вопросы и задания для самоконтроля

  1. Какие величины называют прямоугольными координатами?
  2. На какой поверхности применяют прямоугольные координаты?
  3. В чем заключается суть зональной системы прямоугольных координат?
  4. Назовите номер шестиградусной зоны, в которой находится г. Луганск с координатами: 48°35′ с.ш. 39°20′ в.д.
  5. Рассчитайте долготу осевого меридиана шестиградусной зоны, в которой находится г. Луганск.
  6. Как ведется счет координат х и у в прямоугольной системе координат Гаусса?
  7. Объясните порядок определения прямоугольных координат на топографической карте с помощью циркуля-измерителя.
  8. Объясните порядок определения прямоугольных координат на топографической карте с помощью координатомера.
  9. В чем сущность прямой геодезической задачи?
  10. В чем сущность обратной геодезической задачи?
  11. Какую величину называют приращением координат?
  12. Дайте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
  13. Как можно применить в топографии теорему Пифагора о соотношении между сторонами прямоугольного треугольника?

  Работа станка с ЧПУ тесно связана с системами координат.

  Оси координат станка распалагают как правило параллельно направляющим, что позволяет при программировании обработки в УП непосредственно указывать направления и величины перемещения рабочих органов.

  С целью облегчения эксплуатации станков с ЧПУ в них установлено единое направление координатных осей, обязательное для всех изготовителей.

  В качестве единой системы координат для всех станков с ЧПУ в соответствии с ГОСТ 23597-79 (СТ СЭВ 3135-81) принята стандартная (правая) декартова система координат, при которой оси X,Y,Z (рис 4.5) указывают положительные перемещения инструментов относительно подвижных частей станка.

  Положительные направления движения заготовки относительно неподвижных частей станка указывают оси X`,Y`,Z`, направленные противоположно осям X,Y,Z. Таким образом, положительным всегда является такое направление движения, при котором инструмент и заготовка удаляются друг от друга.

  Рис.4.5. Стандартная система координат для станка с ЧПУ

  Круговые перемещения инструмента (например, угловое смещение оси шпинделя фрезерного станка) обозначают буквами А (вокруг оси Х), В (вокруг оси Y), С (вокруг оси Z), а круговые перемещения заготовки (например, управляемый по программе поворот стола на расточном станке) - соответственно буквами A",B",C". В понятие "круговые перемещения" не входит вращения шпинделя, несущего инструмент, или шпинделя токарного станка.

  Для обозначения вторичных угловых движений вокруг специальных осей используют буквы Д и Е.

  Для обозначения направления перемещения двух рабочих органов вдоль одной прямой используют так называемые вторичные оси: U (параллельно X), V (параллельно Y), W (параллельно Z). При трех перемещениях в одном направлении применяют еще и так называемые третичные оси: P,Q,R (см.рис.4.5).

  У станков различных типов и моделей системы координат размещают по-разному, определяя при этом положительные направления осей и положение начала координат.

  Систему координат станка, выбранную в соответствии с ре-комендациями ГОСТ 23597-79 (рис.4.5), принято называть стандартной. В этой системе положительные направления осей координат определяются по правилу правой руки. Большой палец (рис.4.6) указывает положительное направление оси абсцисс (X), указательный - оси ординат (Y), средний - оси аппликат (Z). Положительное направление вращений вокруг этих осей определяются другим правилом правой руки. Согласно этому правилу, если расположить большой палец по направлению оси, то остальные согнутые пальцы укажут положительное направление вращения.

  

  Рис.4.6. Правило правой руки для прямоугольной системы координат

  Ориентация осей стандартной системы координат на станке связывается с направлением движения при сверлении на сверлильных, расточных, фрезерных и токарных станках. Направление вывода сверла из заготовки принято в качестве положительного для оси Z, т.е. ось Z всегда связывается с вращающемся элементом станка - шпинделем. Ось X перпендикулярна к оси Z и параллельна плоскости установки заготовки. Если такому определению соот- ветствуют две оси, то за ось X принимают ту, вдоль которой возможно большее перемещение узла станка. При известных осях X и Z ось Y однозначно определяется из условия расположения осей в правой прямоугольной системе координат.

  Глава I. Аналитический обзор действующих систем координат

  Общие сведения о системах координат

  Система координат - комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В общем и целом систему координат можно определить как опорную систему для определения положения точек в пространстве или на плоскостях и поверхностях относительно выбранных осей, плоскостей или поверхностей.

  Систему координат широко применяют во многих отраслях науки.

  В математике координаты - это совокупность чисел, сопоставленных точками многообразия в некоторой карте определённого атласа.

  В элементарной геометрии координаты - величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая - абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

  В географии координаты выбираются как (приближённо) сферическая система координат - широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана).

  В астрономии небесные координаты - упорядоченная пара угловых величин (например, прямое восхождение и склонение), с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой сферическую систему координат (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной фундаментальной плоскостью и началом отсчёта. В зависимости от выбора фундаментальной плоскости система небесных координат называется горизонтальной (плоскость горизонта), экваториальной (плоскость экватора), эклиптической (плоскость эклиптики) или галактической

  (галактическая плоскость).

  Наиболее используемая система координат - прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).

  Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.

  Классификация систем координат

  Так как мы уже выяснили, существует множество систем координат, следовательно, их нужно каким то образом классифицировать.

  Классифицировать системы координат можно по:

  1. прямоугольная (плоская) система координат: XY(рис. 1)

  За основную плоскость XOY в данном случае принята плоскость земного экватора. Основная координатная ось OX направлена в определенную точку. Ось OY расположена в плоскости земного экватора под углом 90º к востоку от принятого начального меридиана. Ось OZ совмещена с северным направлением оси вращения Земли.

  Прямоугольная СК (рис. 1)

  2. Пространственная прямоугольная система координат: XYZ (рис. 2)

  Начало пространственных прямоугольных координат либо определяется под условием совмещения с центром масс Земли (в общеземных системах), либо находится вблизи от него.

  Ориентировка оси Z в каждой системе координат выполняется с учетом ориентировки средней оси вращения Земли. При установлении системы среднего полюса, в том числе и полюса в Системе МУН, не накладывают условия прохождения средней оси вращения через центр масс Земли, поэтому и в референцных и в общеземных системах оси Z не совпадают со средней осью вращения, а параллельны ей.

  Плоскость XOY перпендикулярна оси Z и средней оси вращения Земли. Плоскость XOZ выбирается под условием ее параллельности плоскости начального астрономического меридиана.

  

  Пространственная прямоугольная СК (рис. 2)

  3. Геодезическая (эллипсоидальная) система координат: BLH (рис.3)

  B– геодезическая широта, угол между нормалью к эллипсоиду, проведенной через заданную точку M на поверхности Земли, и плоскостью экватора;

  L – геодезическая долгота, двугранный угол между плоскостями гринвичского G и заданного геодезического меридианов;

  H – геодезическая высота над референц-эллипсоидом, расстояние по нормали от поверхности эллипсоида до точки M.

  

  Геодезическая СК (рис. 3)

  · Назначению

  1. Общеземные (мировые) WGS 84, ПЗ 9011, ITRS

  Общеземными принято называть такие системы координат, которые получены под условием совмещения их начала с центром масс Земли. Они устанавливаются в отношении территории, покрывающей весь земной эллипсоид. И используется для решения общеземных задач. Наиболее удобными являются географические координаты (широта и долгота) отсчитываемые от поверхности экватора и начального меридиана в виде дуг, которым соответствуют центральные углы.

  2. Государственные (СК-95, СК-63, ГСК-2011)

  Эта система координат ограничивается территорией одного государства и используется, для осуществления геодезических и картографических работ внутри этого государства. В РФ в качестве координатной поверхности в этой системе используется поверхность эллипсоида Красовского.

  3. Местные (МСК-50, МСК-50.2, Московская)

  Под местной системой координат понимается условная система координат, устанавливаемая в отношении ограниченной территории, не превышающей территорию субъекта Российской Федерации, начало отсчета координат и ориентировка осей координат которой смещены по отношению к началу отсчета координат и ориентировке осей координат единой государственной системы координат, используемой при осуществлении геодезических и картографических работ. Местные системы координат устанавливаются для проведения геодезических и топографических работ при инженерных изысканиях, строительстве и эксплуатации зданий и сооружений, межевании земель, ведении кадастров и осуществлении иных специальных работ. Обязательным требованием при установлении местных систем координат является обеспечение возможности перехода от местной системы координат к государственной системе координат, который осуществляется с использованием параметров перехода (ключей). Каждая местная система координат может создаваться с одной или несколькими трех или шести градусными зонами. Параметры местных систем координат и ключи перехода к государственной системе координат (формулы и правила, по которым координаты точек в одной системе можно получить в другой системы) устанавливает Росреестр по согласованию с Минобороны РФ.

  · Началу отсчета:

  1. Геоцентрические X, Y, Z, с началом отсчета в центре масс Земли;

  2. Референцные (квазигеоцентрические) X, Y, Z, с началом вблизи центра масс Земли, в центре принятого референц-эллипсоида;

  3. Топоцентрические X, Y, Z, с началом отсчета на поверхности Земли в точке наблюдения.

  · Основной координатной плоскости XOY

  Различаются по выбору основной координатной плоскости

  1. Экваториальные – в плоскости экватора на определенную эпоху;

  Различают первую и вторую экваториальные системы координат. Первая является вращающейся, т. е. участвует в суточном вращении Земли, вторая – неподвижная, т. е. не участвует в суточном вращении Земли.

  2. Горизонтальные – в плоскости местного горизонта;

  3. Орбитальные – в плоскости орбиты.

  · Направление ориентировки осей координат относительно точек пространства СК делятся на

  1. Звездные, если они ориентированы по далеким звездам

  2. Квазарные, если оси ориентированы по далеким естественным

  радиоисточникам (квазарам);

  3. Земные, если оси ориентированы по неподвижным точкам земной

  · Время, к которому относится положение точки весеннего равноденствия γ и направление оси z:

  1. Средние, принятые на определенную эпоху (например на эпоху 2000 года);

  2. Истинные, отнесенные к истинной точке весеннего равноденствия;

  3. Мгновенные, соответствующие положению оси вращения на момент наблюдения.