Как определять графики функций прямая. Основные свойства функций

Определение линейной функции

Введем определение линейной функции

Определение

Функция вида $y=kx+b$, где $k$ отлично от нуля называется линейной функцией.

График линейной функции -- прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.

Рассмотрим рисунок 1.

Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:

\ \

Значит $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем отношение этих сторон:

\[\frac{BC}{AC}=\frac{kx_0+b}{x_0+\frac{b}{k}}=\frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k\]

С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

Вывод

Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$.

Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график

Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)={\left(kx+b\right)}"=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
2. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
3. График (рис. 2).

Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.

Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k

1. Область определения -- все числа.
2. Область значения -- все числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)={\left(kx\right)}"=k
2. $f^{""}\left(x\right)=k"=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
3. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
4. График (рис. 3).

Линейная функция – это функция вида

x-аргумент (независимая переменная),

y- функция (зависимая переменная),

k и b- некоторые постоянные числа

Графиком линейной функции является прямая .

Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.

Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох - острый; если k˂0, то этот угол- тупой.

Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.

График линейной функции

Где коэффициент k = 3, следовательно

График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.

ООФ линейной функции

ОЗФ линейной функции

Кроме случая, где

Так же линейная функция вида

Является функцией общего вида.

Б) Если k=0; b≠0,

В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).

В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.

Пример 1 . Построить график функции y(x)= -2x+5

Пример 2 . Найдём нули функции у=3х+1, у=0;

– нули функции.

Ответ: или (;0)

Пример 3 . Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Ответ: y_1=2; y_2=4.

Пример 4 . Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y 1 =10∙x-8 и y 2 =-3∙x+5.

Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны

Подставим х=1, то y 1 (1)=10∙1-8=2.

Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y 2 =-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ордината точки пересечения.

(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.

Ответ: (1;2)

Пример 5 .

Построить графики функций y 1 (x)= x+3 и y 2 (x)= x-1.

Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.

Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.

Пример 6 .

Построим два графика функции.

Первый график имеет формулу

Второй график имеет формулу

В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Рассмотрим задачу. Мотоциклист, выехавший из города А, в настоящий момент находится в 20 км от него. На каком расстоянии s (км) от А будет находиться мотоциклист через t часов, если он будет двигаться со скоростью 40 км/ч?

Очевидно, что за t часов мотоциклист проедет 50t км. Следовательно, через t часов он будет находиться от А на расстоянии (20 + 50t) км, т.е. s = 50t + 20, где t ≥ 0.

Каждому значению t соответствует единственное значение s.

Формулой s = 50t + 20, где t ≥ 0, задается функция.

Рассмотрим еще одну задачу. За отправление телеграммы взимается плата 3 копейки за каждое слово и дополнительно 10 копеек. Сколько копеек (u) следует уплатить за отправление телеграммы, содержащей n слов?

Так как за n слов отправитель должен уплатить 3n копеек, то стоимость отправления телеграммы в n слов может быть найдена по формуле u = 3n + 10, где n – любое натуральное число.

В обеих рассмотренных задачах мы столкнулись с функциями, которые заданы формулами вида у = kx + l, где k и l – это некоторые числа, а х и у – это переменные.

Функция, которую можно задать формулой вида у = kx + l, где k и l – некоторые числа, называется линейной.

Так как выражение kx + l имеет смысл при любых х, то областью определения линейной функции может служить множество всех чисел или любое его подмножество.

Частным случаем линейной функции является рассмотренная ранее прямая пропорциональность. Вспомним, при l = 0 и k ≠ 0 формула у = kx + l принимает вид у = kx, а этой формулой, как известно, при k ≠ 0 задается прямая пропорциональность.

Пусть нам нужно построить график линейной функции f, заданной формулой
у = 0,5х + 2.

Получим несколько соответственных значений переменной у для некоторых значений х:

Отметим точки с полученными нами координатами: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Очевидно, что построенные точки лежат на некоторой прямой. Из этого еще не следует, что графиком данной функции является прямая линия.

Чтобы выяснить, какой вид имеет график рассматриваемой функции f, сравним его со знакомым нам графиком прямой пропорциональности х – у, где х = 0,5.

Для любого х значение выражение 0,5х + 2 больше соответствующего значения выражения 0,5х на 2 единицы. Поэтому ордината каждой точки графика функции f больше соответствующей ординаты графика прямой пропорциональности на 2 единицы.

Следовательно, график рассматриваемой функции f может быть получен из графика прямой пропорциональности путем параллельного переноса на 2 единицы в направлении оси ординат.

Так как график прямой пропорциональности – это прямая линия, то и график рассматриваемой линейной функции f также прямая линия.

Вообще, график функции, заданной формулой вида у = kx + l, есть прямая линия.

Мы знаем, что для построения прямой линии достаточно определить положение двух ее точек.

Пусть, например, нужно построить график функции, которая задана формулой
у = 1,5х – 3.

Возьмем два произвольных значения х, например, х 1 = 0 и х 2 = 4. Вычислим соответствующие значения функции у 1 = -3, у 2 = 3, построим в координатной плоскости точки А (-3; 0) и В (4; 3) и проведем через эти точки прямую. Эта прямая и есть искомый график.

Если область определения линейной функции представлена не всеми числами, то ее графиком будет подмножество точек прямой (например, луч, отрезок, множество отдельных точек).

От значений l и k зависит расположение графика функции, заданной формулой у = kx + l. В частности, от коэффициента k зависит величина угла наклона графика линейной функции к оси х. Если k – положительное число, то этот угол острый; если k – отрицательное число, то угол – тупой. Число k называют угловым коэффициентом прямой.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = - 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x

Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.

>>Математика: Линейная функция и ее график

Линейная функция и ее график

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).

Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.

Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.

Точно так же уравнение Ьх - 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению.

Наконец, уравнение 3x + 2у - 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.

Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у всегда можно преобразовать к виду
y = kx + m,(2) где k,m - числа (коэффициенты), причем .

Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией.

С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,

у = 2х + 3. Тогда:
если х = 0, то у = 3;
если х = 1, то у = 5;
если х = -1, то у = 1;
если х = 3, то у = 9 и т. д.

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы :

Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3.

В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) - нет: конкретные значения мы придаем одной из них - переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х - независимая переменная (или аргумент), у - зависимая переменная.

Обратите внимание: линейная функция - это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными. Графиком уравнения у - kx + т, как всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая - ее называют также графком линейной функции y = kx + тп. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Пример 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3.

Решение. Составим таблицу:

Во второй ситуации независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 - З0x находим: у = 500 - 30 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математическая модель второй ситуации выглядит так:

у = 500 - ЗОд:, где х = 1, 2, 3, .... 16.

В третьей ситуации независимая переменная х теоретически может принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограничения на х, скажем, 0 < х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писать (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е - знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается.

Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового промежутка X, то пишут:

Пример 2. Построить график линейной функции:

Решение, а) Составим таблицу для линейной функции y = 2x + 1

Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3) и проведем через них прямую линию. Это - график уравнения у = -2x: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной функции у = -2х+1, гдехе [-3, 2].

Обычно говорят так: мы построили график линейной функции у = - 2х + 1 на отрезке [- 3, 2].

б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но - будьте внимательны! - на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции на отрезке .
Решение. Составим таблицу для линейной функции

Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую - график линейной х функции (рис. 42).

Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке , т. е. для х е .

Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 - это и есть наибольшее значение линейной функции на отрезке . Обычно используют такую запись: у наиб =7.

Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 - это и есть наименьшее значение линейной функции на отрезке .
Обычно используют такую запись: y наим. = 4.

Пример 4. Найти у наиб и y наим. для линейной функции y = -1,5x + 3,5

а) на отрезке ; б) на интервале (1,5);
в) на полуинтервале .

Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5:

Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; - 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала (рис. 47).

а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что у наиб = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а у наим. = - 4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5).

б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены.

в) С помощью рисунка 45 заключаем, что y наиб. = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае).

г) Используя рисунок 46, делаем вывод: у наиб = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а у наим. не существует.

д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y наим = -1 (этого значения линейная функция достигает при х = 3), а у наиб., не существует.

Пример 5. Построить график линейной функции

у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:

а) при каком значении х будет у = 0?
б) при каких значениях х будет у > 0?
в) при каких значениях х будет у < 0?

Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6:

Через точки (0; - 6) и (3; 0) проведем прямую - график функции у = 2х - 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0.
б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая расположена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.

в) у < 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили:

а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3);
б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3);
в) неравенство 2x - 6 < 0 (получили х < 3).

Замечание. В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + m, где к, m - конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + m

.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если k>0, то линейная функция у = kx + m возрастает.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Линейная функция в жизни

А теперь давайте подведем итог этой темы. Мы с вами уже познакомились с таким понятие, как линейная функция, знаем ее свойства и научились строить графики. Так же, вы рассматривали частные случаи линейной функции и узнали от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Но, оказывается, в нашей повседневной жизни мы также постоянно пересекаемся с этой математической моделью.

Давайте мы с вами подумаем, какие реальные жизненные ситуации связаны с таким понятием, как линейные функции? А также, между какими величинами или жизненными ситуациями, возможно, устанавливать линейную зависимость?

Многие из вас, наверное, не совсем представляют, зачем им нужно изучать линейные функции, ведь это вряд ли пригодится в дальнейшей жизни. Но здесь вы глубоко ошибаетесь, потому что с функциями мы сталкиваемся постоянно и повсюду. Так как, даже обычная ежемесячная квартплата также является функцией, которая зависит от многих переменных. А к этим переменным относится метраж площади, количество жильцов, тарифов, использование электроэнергии и т.д.

Конечно же, самыми распространенными примерами функций линейной зависимости, с которыми мы с вами сталкивались – это уроки математики.

Мы с вами решали задачи, где находили расстояния, которые проезжали машины, поезда или проходили пешеходы при определенной скорости движения. Это и есть линейные функции времени движения. Но ведь эти примеры применимы не только в математике, они присутствуют в нашей повседневной жизни.

Калорийности молочных продуктов зависит жирности, а такая зависимость, как правило, является линейной функцией. Так, например, при увеличении сметане процента жирности, увеличивается и калорийность продукта.

Теперь давайте сделаем подсчеты и найдем значения k и b, решив систему уравнений:

Теперь давайте выведем формулу зависимости:

В итоге мы получили линейную зависимость.

Чтобы знать скорость распространения звука в зависимости от температуры, возможно, узнать, применив формулу: v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура. Если мы начертим график этой зависимости, то увидим, что он будет линейным, то есть представлять прямую линию.

И таких практических использований знаний в применении линейной функциональной зависимости можно перечислять долго. Начиная от платы за телефон, длины и роста волос и даже пословиц в литературе. И этот список можно продолжать до бесконечности.

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений