Какие цифры не делятся. Признаки делимости, или что не поделили числа. Основные признаки делимости

Признаки делимости

Замечание 2

Признаки делимости обычно применяют не к самому числу, а к числам, состоящим из цифр, которые участвуют в записи этого числа.

Признаки делимости на числа $2, 5$ и $10$ позволяют проверить делимость числа по одной лишь последней цифре числа.

Другие признаки делимости предполагают проведение анализа двух, трех или больше последних цифр числа. Например, признак делимости на $4$ требует анализа двузначного числа, которое составлено из двух последних цифр числа; признак делимости на 8 требует анализа числа, которое образовано тремя последними цифрами числа.

При использовании других признаков делимости необходимо проанализировать все цифры числа. Например, при использовании признака делимости на $3$ и признака делимости на $9$ необходимо найти сумму всех цифр числа, а затем проверить делимость найденной суммы на $3$ или на $9$ соответственно.

Признаки делимости на составные числа объединяют несколько других признаков. К примеру, признак делимости на $6$ представляет собой объединение признаков делимости на числа $2$ и $3$, а признак делимости на $12$ – на числа $3$ и $4$.

Применение некоторых признаков делимости требует проведения значительной вычислительной работы. В таких случаях может оказаться проще выполнить непосредственное деление числа $a$ на $b$, которое приведет к решению вопроса, можно ли разделить данное число $a$ на число $b$ без остатка.

Признак делимости на $2$

Замечание 3

Если последняя цифра целого числа делится на $2$ без остатка, то и число делится на $2$ без остатка. В других случаях данное целое число не делится на $2$.

Пример 1

Определить, какие из предложенных чисел делятся на $2: 10, 6 349, –765 386, 29 567.$

Решение .

Используем признак делимости на $2$, согласно которому можно сделать вывод, что на $2$ без остатка делятся числа $10$ и $–765 \ 386$, т.к. последней цифрой данных чисел является число $0$ и $6$ соответственно. Числа $6 \ 3494$ и $29 \ 567$ не делятся на $2$ без остатка, т.к. последняя цифра числа $9$ и $7$ соответственно.

Ответ : $10$ и $–765 \ 386$ делятся на $2$, $6 \ 349$ и $29 \ 567$ не делятся на $2$.

Замечание 4

Целые числа по результату их делимости на $2$ делят на четные и нечетные .

Признак делимости на $3$

Замечание 5

Если сумма цифр целого числа делится на $3$, то и само число делится на $3$, в других случаях число на $3$ не делится.

Пример 2

Проверить, делится ли число $123$ на $3$.

Решение .

Найдем сумму цифр числа $123=1+2+3=6$. Т.к. полученная сумма $6$ делится на $3$, то по признаку делимости на $3$ число $123$ делится на $3$.

Ответ : $123⋮3$.

Пример 3

Проверить, делится ли число $58$ на $3$.

Решение .

Найдем сумму цифр числа $58=5+8=13$. Т.к. полученная сумма $13$ не делится на $3$, то по признаку делимости на $3$ число $58$ не делится на $3$.

Ответ : $58$ не делится на $3$.

Иногда для проверки делимости числа на 3 нужно несколько раз применить признак делимости на $3$. Обычно такой подход используется в случае применения признаков делимости к очень большим числам.

Пример 4

Проверить, делится ли число $999 \ 675 \ 444$ на $3$.

Решение .

Найдем сумму цифр числа $999 \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = 57$. Если по полученной сумме сложно сказать, делится ли она на $3$, нужно еще раз применить признак делимости и найти сумму цифр полученной суммы $57=5+7=12$. Т.к. полученная сумма $12$ делится на $3$, то по признаку делимости на $3$ число $999 \ 675 \ 444$ делится на $3$.

Ответ : $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.

Признак делимости на $4$

Замечание 6

Целое число делится на $4$, если число, которое составлено из двух последних цифр данного числа (в порядке их следования) делится на $4$. В обратном случае данное число не делится на$4$.

Пример 5

Проверить, делятся ли числа $123 \ 567$ и $48 \ 612$ на $4$.

Решение .

Двухзначное число, которое составлено из двух последних цифр числа $123 \ 567$, составляет $67$. Число $67$ не делится на $4$, т.к. $67\div 4=16 (ост. 3)$. Значит и число $123 \ 567$ согласно признаку делимости на $4$ не делится на $44.44.

Двухзначное число, которое составлено из двух последних цифр числа $48 \ 612$, составляет $12$. Число $12$ делится на $4$, т.к. $12\div 4=3$. Значит и число $48 \ 612$ согласно признаку делимости на $4$ делится на $4$.

Ответ : $123 \ 567$ не делится на $4, 48 \ 612$ делится на $4$.

Замечание 7

Если двумя последними цифрами заданного числа являются нули, то число делится на $4$.

Такой вывод делается вследствие того, что данное число делится на $100$, а т.к. $100$ делится на $4$, то и число делится на $4$.

Признак делимости на $5$

Замечание 8

Если последней цифрой целого числа является $0$ или $5$, то данное число делится на $5$ и не делится на $5$ во всех остальных случаях.

Пример 6

Определить, какие из предложенных чисел делятся на $5: 10, 6 349, –765 385, 29 567.$

Решение .

Используем признак делимости на $5$, согласно которому можно сделать вывод, что на $5$ без остатка делятся числа $10$ и $–765 385$, т.к. последней цифрой данных чисел является число $0$ и $5$ соответственно. Числа $6 \ 349$ и $29 \ 567$ не делятся на $5$ без остатка, т.к. последняя цифра числа $9$ и $7$ соответственно.

Существуют признаки, по которым иногда легко узнать, не производя деления на самом деле, делится или не делится данное число на некоторые другие числа.

Числа, которые делятся на 2, называют чётными . Число нуль тоже относится к чётным числам. Все остальные числа называют нечётными :

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - чётные,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - нечётные.

Признаки делимости

Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Например, число 4376 делится на 2, так как последняя цифра (6) - чётная.

Признак делимости на 3 . На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, число 10815 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 делится на 3.

Признаки делимости на 4 . Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например, число 244500 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Числа 14708 и 7524 делятся на 4, так как две последние цифры этих чисел (08 и 24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5 . На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Например, число 320 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признак делимости на 6 . Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Например, число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8 . На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8. Например, число 27000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями. Число 63128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признак делимости на 9 . На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9. Например, число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и т. д. На 10, 100, 1000 и так далее делятся те числа, которые оканчиваются соответственно одним нулём, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Например, число 3800 делится на 10 и на 100.