Первообразная f. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F`(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx

Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k - некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1 . Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2 . Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4 . Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). В самом деле
\(s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt \)
Ответ: \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \)

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида \(s(t) = \frac{gt^2}{2} + C \), где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку \(\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt \)

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня (\(\sqrt{x} \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для \(x \in X \) выполняется равенство F"(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))" = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция \(y=\frac{1}{k}F(kx+m) \)

Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Методы интегрирования

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Сделаем подстановку \(x= \varphi(t) \) где \(\varphi(t) \) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Интегрирование выражений вида \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$ Документ

Некотором промежутке Х. Если для любого хХ F"(x) = f(x), то функция F называется первообразной для функции f на промежутке Х. Первообразную для функции можно попытаться найти...

Первообразной для функции

Документ

... . Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x). Например, для функции x2 первообразной будет функция x3 ...

Основы интегрального исчисления Учебное пособие

Учебное пособие

... ; 5. Найти интеграл. ; B) ; C) ; D) ; 6. Функция называется первообразной к функции на множестве, если: для всех; в некоторой точке; для всех; в некоторой... интервалом. Определение 1. Функция называется первообразной для функции на множестве, ...

Первообразная Неопределённый интеграл

Документ

Интегрирования. Первообразная . Непрерывная функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке X , если для каждого F’ (x) = f (x). П р и м е р. Функция F (x) = x 3 является первообразной для функции f (x) = 3x ...

СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (С ПРОГРАММОЙ) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

Методические указания

Вопросы для самопроверки Дайте определение первообразной функции . Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций . Что называется неопределенным...

Первообразная

Определение первообразной функции

• Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

1. f производная функции F
2. F первообразная для функции f

Свойство первообразных

• Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.

Геометрическая интерпретация

• Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .

Правила вычисления первообразных

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
3. Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .

• Например:

  F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);

Связь между графиками функции и ее первообразной:

1. Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
2. Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
3. Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Неопределенный интеграл

Определение :

• Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x) - называют подынтегральной функцией;
• f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
• x - называют переменной интегрирования;
• F(x) - одна из первообразных функции f(x);
• С - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
4. Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция f(x)	Первообразная F(x) + C	Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C	\int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C
f(x) = \frac{1}{x}	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e{^x }dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac{a^x}{l na} + C	\int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x}	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C
f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x}	F(x) = \tg x + C	\int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C
f(x) = \sqrt{x}	F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}}	F(x) =2\sqrt{x} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}}	F(x)=\arctg x + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}}	F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C	\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}}	F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C	\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C
f(x) =\frac{1}{ 1+x^2}	F(x)=\arctg + C	\int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0)	F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\sin x}	F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C	\int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\cos x}	F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C	\int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

\int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

где F(x) - первообразная для f(x)

То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

S= \int_{a}^{b} f(x) dx

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.