Производственная функция представляет собой зависимость между. Производственная функция Кобба-Дугласа: примеры решения

Производство - это фактически процесс превращения одних продуктов в другие. В процессе которого из совокупности простого получается что-то более сложное по своей сущности. Производственная функция Кобба-Дугласа, как и любая другая, отражает существующую взаимосвязь между полученным результатом и комбинацией факторов, которые использовались для его достижения. Различия между разными моделями состоят в глубине их охвата реального положения дел. Самой простой является линейная, которая отражает взаимосвязь между количеством работников и реальным выпуском. Производственная модель Кобба-Дугласа рассматривает уже не только труд как ресурс для получения результата, но и капитал. Самыми сложными являются современные многофакторные модели. В них фигурирует и земля, и предпринимательские способности, и даже информация.

Производство как процесс

Выпуск продукции по своей сути представляет собой превращение различных материальных и нематериальных вложений (планов, ноу-хау) для создания предметов, предназначенных для потребления. Это процесс создания товара или услуги, которые полезны для индивидов. Рост производства означает улучшение экономического благосостояния. Это связано с тем, что все продукты прямо или косвенно используются для удовлетворения человеческих потребностей. А последние, как известно, безграничны. Поэтому экономическое благосостояние государства часто оценивается с помощью степени удовлетворения потребностей его граждан. Его увеличение связывают с двумя факторами: улучшением соотношения качества и цены имеющихся продуктов и ростом покупательной способности людей за счет более эффективного рыночного производства.

Источник экономического благосостояния

Главным образом в экономике есть только два процесса: производство и потребление. И столько же видов акторов. Производители выпускают продукцию, чтобы удовлетворить нужды потребителей. Экономическое благосостояние, таким образом, состоит из двух компонентов. Первый - это эффективное производство, второй - взаимодействие между факторами. Благосостояние потребителей зависит от продуктов, которые они могут себе позволить, а производителей - от дохода, полученного ими в качестве компенсации за свой труд и вложенные в процесс выпуска материальные и нематериальные активы.

Процесс создания продукта

Каждое предприятие в ходе своей работы имеет дело с множеством отдельных действий. Однако для простоты понимания производства принято выделять пять основных процессов, у каждого из которых есть своя логика, цели, теория и ключевые фигуры. И важно изучать их не только как одно целое, но и по отдельности. Таким образом, в ходе производства выделяют следующие процессы:

Экономическая дефиниция

Производственная функция - это отношение между выпуском и использованной для его осуществления комбинацией факторов. Главный из них - труд. Простая линейная модель рассматривает только его. Производственная функция Кобба-Дугласа, пример которой будет рассмотрен ниже, учитывает не только труд, но и капитал в качестве фактора процесса выпуска продукции. Другие модели дополнительно принимают во внимание землю (P) и предпринимательские способности (H). Таким образом, производство представляет собой функцию от комбинации этих показателей или Q = f (K, L, P, H). Каждая отрасль хозяйства или даже отдельное предприятие имеет свои особенности. Поэтому производственных функций можно придумать бесконечное множество.

Простая линейная модель

Производственная функция Кобба-Дугласа учитывает два фактора, как это принято в неоклассических теориях. Однако гораздо проще рассматривать только один. Теория абсолютных преимуществ Адама Смита, с которой фактически началась вся современная экономика, имела в основе только труд в качестве фактора производства. Не ушел от этого допущения и Давид Рикардо. И только в 60-х годах прошлого века шведские экономисты Эли Хекшер и Бертил Олин взяли на себя смелость начать рассматривать еще один фактор -капитал. Самая простая производственная модель является линейной. Она описывает зависимость между количеством рабочей силы и выпуском. Ее уравнение включает только одну независимую переменную. Таким образом, линейная производственная функция имеет следующий вид: Q = a * L, где Q - это объем выпуска, a - параметр, L - количество рабочих, занятых в производстве. Рассмотрим отдельный пример. Один рабочий может сделать 10 стульев в день. В этом случае уравнение будет иметь следующий вид: Q = 10 * L.

Закон уменьшения отдачи

Продолжим рассматривать пример, приведенный выше. Линейная функция подразумевает, что увеличение количества рабочих всегда приводит к увеличению объемов производства. Один мастер может сделать 10 стульев в день, пять - 50, сто - 1000. Однако в реальности все немного сложнее. В подобных моделях нужно учитывать неизменные капитальные фонды и уменьшение отдачи. Поэтому в уравнении появляется дополнительный параметр - b. Он находится в промежутке между нулем и единицей, что следует из его экономической сущности. Теперь взаимоотношения между объемом выпуска и количеством работником могут быть описаны следующим образом: Q = a * L b . Уравнение из предыдущего примера в реальности будет иметь такой вид: Q = 10 * L 0,5 . А это означает, что один работник производит 10 стульев, а пять вовсе не 50, а только 22. Сто мастеров могут в реальности сделать не тысячу изделий, а только сто. И это закон уменьшения отдачи в действии.

Многофакторные модели

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q = a * L b * K c . Как видно из формулы, мы уже имеем дело с тремя параметрами (a, b, c) и двумя факторами (L, K). В ней учитываются уже не только трудовые ресурсы (количество работников), но и капитальные (число пил в распоряжении). Параметры производственной функции Кобба-Дугласа зависят не только от отрасли хозяйства, но и технологии, используемой на отдельном предприятии. Нельзя забывать и о действии закона убывающей отдачи от любого используемого фактора. Наше уравнение из вышеприведенного примера может быть расширено следующим образом: Q = 10 * L 0,5 * K. Производственная функция Кобба-Дугласа использует в современных неоклассических теориях наиболее часто из-за своей относительной простоты и приближенности к реальности. Более сложные модели еще только начинают получать свое распространение.

Фиксированные пропорции

Предположим, что единственный способ произвести стул - это дать каждому рабочему по пиле. Лишние инструменты в таком случае просто бесполезны. Это означает, что выпуск продукта предполагает наличие определенного соотношения капитальных и трудовых ресурсов. При этом объем производства определяется «слабым звеном». На этот случай экономистами была придумана особая функция. Она имеет следующий вид: min {L, K}. Если для создания стула нужно два рабочих и одна пила, то min {2L, K}.

Идеальные субституты

Если один фактор может быть заменен на другой, то это будет иметь эффект на вид производственной функции. Например, предположим, что вместо плотников можно использовать роботов. Формула из примера тогда будет выглядеть так: Q = 10 * L + 10 * R. Или обобщенно: Q = a * L + d * R, где a, d - параметры, а L и R - число плотников и роботов. Если же машины в 10 раз быстрее работников, то формула будет выглядеть следующим образом: Q = 10 * L + 100 * R.

Производственная функция Кобба-Дугласа: свойства

Начнем рассмотрение самой популярной неоклассической модели с ее основных особенностей:

1. Производственные функции Кобба-Дугласа учитывает два фактора: труд и капитал.

2. Положительно убывающий предельный продукт.

3. Постоянная эластичность выпуска, равная b для L и c для K.

4. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q = a * L b * K c .

5. Постоянный эффект масштаба, равный сумме b и c.

Исторические сведения

В основе любой экономической теории лежат факторы производства. Производственная функция Кобба-Дугласа рассматривает два из четырех основных: труд и капитал. На сегодняшний день для каждого предприятия можно придумать ее отдельные примеры. Решение производственных функций Кобба-Дугласа не произошло без работ Кната Викселла (1851-1926). Именно он впервые сконструировал данную модель. Чарльз Кобб и Пол Дуглас, именами которых она была позже названа, только протестировали ее на практике. В 1928 году в свет вышла их книга, в которой описывался экономический рост США в 1899-1922 гг. Ученые объясняли его с помощью двух факторов: использованных трудовых ресурсов и инвестированных капитальных. Конечно же, на экономический рост влияет множество других параметров, но статистика доказала, что решающими являются все же те два, которые и выделил Кнат Викселл.

По словам Пола Дугласа, первая формулировка функции появилась в 1927 году. В это время он пытался вывести математическое выражение связи между рабочими и капиталом. Он обратился к своему коллеге Чарльзу Коббу. Последнему и удалось вывести современное уравнение, которое, как оказалось, раньше использовал в своих работах Кнат Викселл. С помощью метода наименьших квадратов ученым удалось вывести экспоненту труда (0,75). Ее значение было подтверждено данными Национального бюро экономических исследований. В 40-х годах прошлого века ученые отошли от констант и заявили, что экспоненты могут меняться с течением времени.

Допущения модели

Если объем выпуска является производной от двух факторов (труда и капитала), то эластичность всей функции будет зависеть от предельной продуктивности каждого из них. Таким образом, Кобб и Дуглас построили свою модель на следующих допущениях:

Производство не может продолжаться в отсутствие одного из факторов. Труд и капитал не являются субститутами, которые могут заменить друг друга в процессе выпуска. Дополнительные пилы не могут создать стулья без участия плотников.
Предельная продуктивность каждого из факторов пропорциональна объему выпуска на его единицу.

Эластичность выпуска

Очевидно, что уменьшение объема используемых материалов приводит к сокращению объема продуктов. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет дело с маргинальным выпуском. Эластичность в экономике - это процент изменения значения одного показателя в ответ на уменьшение или увеличение другого, связанного с ним. Производственная функция Кобба-Дугласа подразумевает, что b и c - константы. Если b равен 0,2 и количество рабочих увеличится на 10%, то выпуск станет больше на 2%.

Эффект масштаба

Для реального увеличения выпуска объем используемых факторов производства должен возрастать пропорционально. Если так и происходит, то мы говорим, что мы используем эффект масштаба. Производственная функция Кобба-Дугласа, свойства которой мы уже рассмотрели, учитывает его. Если b + c = 1, то это означает, что мы имеем дело с постоянным эффектом масштаба, >1 - увеличивающимся, <1 - уменьшающимся.

Временной фактор

Модель производственной функции Кобба-Дугласа зачастую используется для описания средне- и долгосрочной перспективы. Очевидно, что зачастую нанять новых людей гораздо проще, чем увеличить объем капитальных ресурсов. Поэтому некоторые экономисты утверждают, что простая линейная модель как нельзя лучше подходит для описания коротких временных периодов работы предприятия. Фирме принадлежит определенный размер помещения, ограниченное число станков, что можно изменить только с помощью долгосрочного планирования. Период времени, который необходим для него, может меняться от одного предприятия к другому, как и эластичность производственной функции Кобба-Дугласа.

Проблемы применения

Несмотря на то что двухфакторная производственная функция получила широкое распространение и была проверена Коббом и Дугласом статистически, часть экономистов все равно сомневается в ее точности в различных отраслях и временных периодах. Главным допущением данной модели является постоянство эластичности труда и капитала в развитых странах. Однако так ли это на самом деле? Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических подоплек для его существования. Постоянство коэффициентов b и c значительно упрощает расчеты, и на этом все. При этом ученые ничего не смыслили в инжиниринге, технологиях и менеджменте производственного процесса. К тому же возможность ее применения на микроуровне не говорит о ее правильности в условиях макроэкономики, и наоборот.

Критика преследовала производственную функцию Кобба-Дугласа с самого ее появления в 1928 году. Сначала это так расстроило ученых, что они хотели бросить работу над ней. Но потом они решили продолжить. В 1947 году Дуглас выступил с новыми подтверждениями ее правильности в качестве президента Американской экономической ассоциации. Ученому не удалось продолжить работу над ней из-за проблем со здоровьем. В дальнейшем производственную функцию усовершенствовали Пол Самуэльсон и Роберт Солоу, навсегда изменив представления об изучении макроэкономики.

На сегодняшний день производственная функция Кобба-Дугласа является одной из самых важных концепций. Она описывает связь между вложенными факторами и полученным результатом. В отличие от простых линейных моделей, которые годятся только для описания короткого периода жизнедеятельности предприятия, она может использоваться для долгосрочного планирования. Однако нельзя забывать о ряде допущений и проблем, с которыми связано ее применения.

Введение …………………………………………………………………………..3

Глава I .4

1.1. Факторы производства……………………………………………………….4

1.2. Производственная функция и её экономическое содержание…………….9

1.3. Эластичность замещения факторов………………………………………..13

1.4. Эластичность производственной функции и отдача от масштаба………16

1.5. Свойства производственной функции и основные характеристики производственной функции……………………………………………………..19

Глава II. Виды производственных функций………………………………..23

2.1. Определение линейно - однородных производственных функций……...23

2.2. Виды линейно-однородных производственных функций………………..25

2.3. Другие виды производственных функций………………………………...28

Приложение……………………………………………………………………..30

Заключение……………………………………………………………………...32

Список используемой литературы…………………………………………...34

Введение

В условиях современного общества ни один человек не может потреблять только то, что он сам производит. Для наиболее полного удовлетворения своих потребностей люди вынуждены обмениваться тем, что они производят. Без постоянного производства благ не было бы потребления. Поэтому большой интерес представляет анализ закономерностей, действующих в процессе производства благ, которые формируют в дальнейшем их предложение на рынке.

Производственный процесс - это основное и первоначальное понятие экономики. Что же понимается под производством?

Каждый знает, что производство благ и услуг на пустом месте невозможно. Для того, чтобы произвести мебель, продукты питания, одежду и другие товары, необходимо иметь соответствующие исходные материалы, оборудование, помещение, клочок земли, специалистов, которые организуют производство. Все, необходимое для организации процесса производства называют факторами производства. Традиционно к факторам производства относят капитал, труд, землю и предпринимательство.

Для организации производственного процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве. Зависимость максимального объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией .

Глава I . Производственные функции, основные понятия и определения .

1.1. Факторы производства

Материальная основа любой экономики образуется из производства. От того, в какой мере в стране развито производство зависит в целом экономика этой страны.

В свою очередь, источниками любого производства являются ресурсы, которыми располагает то или иное общество. «Ресурсы – наличие средств труда, предметов труда, денег, товаров или людей для использования в настоящее время или в будущем» .

Таким образом, факторы производства, - это совокупность тех природных, материальных, социальных и духовных сил (ресурсов), которые могут быть использованы в процессе создания товаров, услуг и иных ценностей. Другим словами, факторы производства – это то, что оказывает определённое влияние на само производство.

В экономической теории ресурсы принято делить на три группы:

1. Труд – совокупность физических и умственных способностей человека, которые могут использоваться в процессе изготовления товара или оказания услуги.

2. Капитал (физический) – здания, сооружения, станки, оборудование, транспортные средства, необходимые для производства.

3. Природные ресурсы – земля и её недра, водоёмы, леса и т.д. Всё то, что можно использовать в производстве в натуральном, необработанном виде.

Именно наличие или отсутствие в стране факторов производства обуславливает её экономическое развитие. Факторы производства, в какой-то степени, являются потенциалом экономического роста. От того, как эти факторы используются, зависит общее положение дел в экономике страны.

В дальнейшем, развитие теории «трёх факторов» привело к более расширенному определению факторов производства. В настоящее время к ним относят:

2. землю (природные ресурсы);

3. капитал;

4. предпринимательскую способность;

Следует отметить, что все эти факторы тесно взаимосвязаны между собой. Например, производительность труда резко возрастает при использовании результатов научно-технического прогресса.

Таким образом, факторы производства, - это такие факторы, которые оказывают определённое воздействие на сам процесс производства. Так, например, увеличив капитал путем приобретения нового производственного оборудования, можно увеличить объёмы производства и увеличить выручку от реализации продукции.

Необходимо рассмотреть подробнее существующие факторы производства.

Труд есть целесообразная деятельность человека, с помощью которой он преобразует природу и приспосабливает ее для удовлетворения своих потребностей. В экономической теории под трудом как фактором производства подразумеваются любые умственные и физические усилия, прилагаемые людьми в процессе хозяйственной деятельности.

Говоря о труде необходимо остановится на таких понятиях, как производительность труда и интенсивность труда. Интенсивность труда характеризует напряженность труда, которая определяется степенью расходования физической и умственной энергии в единицу времени. Интенсивность труда увеличивается при ускорении работы конвейера, увеличении количества одновременно обслуживаемого оборудования, уменьшении потерь рабочего времени. Производительность труда показывает, какое количество продукции производится на единицу времени.

Для увеличения производительности труда решающую роль играет прогресс науки и техники. Так, например, внедрение в начале ХХ века конвейеров привело резкому скачку производительности труда. Конвейерная организация производства базировалась на принципе дробного разделения труда.

Научно-техническая революция привела к изменениям в характере труда. Труд стал более квалифицированным, физический труд имеет все меньшее значение в процессе производства.

Говоря о земле, как факторе производства, подразумевают не только саму землю как таковую, но и воду, воздух и другие природные ресурсы.

Капитал как фактор производства отождествляется со средствами производства. Капитал состоит из благ длительного пользования, созданных экономической системой для производства других товаров. Другой взгляд на капитал связан с его денежной формой. Капитал, когда он воплощен в еще не инвестированных финансах, есть сумма денег. Во всех этих определениях есть общая идея, а именно капитал характеризуется способностью приносить доход.

Различают физический или основной, оборотный и человеческий капитал. Физический капитал – это материализованный в зданиях, станках и оборудовании капитал, функционирующий в процессе производства несколько лет. Другой вид капитала, включающий сырье, материалы, энергетические ресурсы, расходуется за один производственный цикл. Он носит название оборотного капитала. Деньги, затраченные на оборотный капитал, полностью возвращаются к предпринимателю после реализации продукции. Затраты на основной капитал не могут быть возмещены так быстро. Человеческий капитал возникает как следствие образования, профессиональной подготовки и поддержания физического здоровья.

Предпринимательская способность – особый фактор производства, при помощи которого собираются другие факторы производства в эффективную комбинацию.

Научно-технический прогресс является важным двигателем экономического роста. Он охватывает целый ряд явлений, характеризующих совершенствование процесса производства. Научно-технический прогресс включает в себя совершенствование технологий, новые методы и формы управления и организации производства. Научно-технический прогресс позволяет по-новому комбинировать данные ресурсы с целью увеличения конечного выпуска продукции. При этом, как правило, возникают новые, более эффективные отрасли. Рост эффективности труда становится основным фактором производства.

Но необходимо понимать, что не существует прямой зависимости между факторами производства и объёмом выпускаемой продукции. Например, принимая на работу новых работников, предприятие создаёт предпосылки для выпуска дополнительного объёма продукции. Но в то же время, каждый привлечённый новый работник увеличивает для предприятия затраты по оплате труда. Кроме этого, нет гарантии, что выпущенная дополнительно продукция будет востребована покупателем, и что предприятие получит доход от реализации этой продукции.

Таким образом, говоря о зависимости между факторами производства и объёмом продукции, необходимо понимать, что данная зависимость определяется разумным сочетания этих факторов с учётом имеющегося спроса на выпускаемую продукцию.

Важную роль в понимании проблемы сочетания факторов производства играет так называемая теория предельной полезности и предельных издержек, суть которой заключается в том, что каждая дополнительная единица однотипного блага приносит все меньшую пользу потребителю, и требует возрастания затрат от производителя. Современная теория производства опирается на концепцию убывающей отдачи или предельного продукта и полагает, что все факторы производства взаимозависимо участвуют в создании продукта.

Главной задачей любого предприятия является максимизация прибыли. Один из способов достижения этого - разумное сочетание факторов производства. Но кто может определить, какие пропорции факторов производства приемлемы для того или иного предприятия, той или иной отрасли? Вопрос заключается в том, сколько и каких факторов производства необходимо использовать для получения максимально возможной прибыли.

Именно эта проблема и является одной из проблем, решаемой математической экономикой, а способ её решения - выявление математической зависимости между используемыми факторами производства и объемом выпуска продукции, то есть, в построении производственной функции.

1.2. Производственная функция и её экономическое содержание

Что такое функция с точки зрения математической науки?

Функция – это зависимость одной переменной от другой (других) переменной, выраженная следующим образом:

где х – независимая переменная, а y – зависимая от x функция.

Изменение переменной x ведёт к изменению функции y .

Функция двух переменных выражается зависимостью: z = f(x,y). Трёх переменных: Q = f(x,y,z), и так далее.

Например, площадь круга: S ( r )=π r 2 - есть функция его радиуса, и чем больше радиус, тем больше площадь круга.

Получаем, что производственная функция – это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом, главная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в построении производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия.

В теории производства в основном используют двухфакторную производственную функцию, которая в общем виде записывается следующим образом:

Q = f ( K , L ), (1.1)

При этом такие факторы, как технический прогресс и предпринимательская способность считаются неизменными в относительно коротком промежутке времени и не влияющими на объём выпуска продукции, а фактор «земля» рассматривается вместе с «капиталом».

Производственная функция определяет взаимосвязь выпуска продукции Q с факторами производства: капиталом K, трудом L. Производственная функция описывает множество технически эффективных способов производства заданного объема продукции. Техническая эффективность производства характеризуется использованием наименьшего количества ресурсов при данном объеме производства. Например, способ производства считается более эффективным, если он предполагает использование хотя бы одного ресурса в меньшем, а всех остальных не в большем количестве, чем другие способы. Если же один способ предполагает использование одних ресурсов в большем, а других в меньшем количестве, чем другой способ, тогда эти способы не сравнимы по технической эффективности. В этом случае оба способа рассматриваются как технически эффективные, а для их сравнения используют экономическую эффективность. Наиболее экономически эффективным способом производства данного объема продукции считается тот, при котором затраты на использование ресурсов минимальны.

Графически каждый способ можно представить точкой, координаты которой характеризуют минимальное количество ресурсов L и K, а производственную функцию – линией равного выпуска, или изоквантой. Каждая изокванта представляет множество технически эффективных способов производства определенного объема продукции. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она предоставляет. На рисунке 1.1. приведены три изокванты, соответствующие выпуску 100, 200 и 300 единиц продукции, так что можно сказать, что для выпуска 200 единиц продукции необходимо взять либо K 1 единиц капитала и L 1 единиц труда, либо K 2 единиц капитала и L 2 единиц труда, либо какую-то их комбинацию, предоставленную изоквантой Q 2 =200.

Q 3 =300

Рисунок 1.1. Изокванты, представляющие разные уровни выпуска

Необходимо дать определение таким понятиям как изокванта и изокоста.

Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства (на рисунке 1.1. представлена сплошной линией).

Изокоста - линия, образованная множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах (на рисунке 1.1. представлена пунктирной линией – касательная к изокванте в точке сочетания ресурсов).

Точка касания изокванты и изокосты – это оптимальное сочетание факторов для конкретного предприятия. Точка касания находится путём решения системы двух уравнений, выражающих изокванту и изокосту.

Основными свойствами производственной функции являются:

1. Непрерывность функции, то есть, её график представляет сплошную, непрерывную линию;

2. Производство не возможно при отсутствии хотя бы одного из факторов;

3. Увеличение затрат любого из факторов при неизменных количествах другого приводит к увеличению выпуска продукции;

4. Можно сохранить выпуск продукции на постоянном уровне, замещая некоторое количество одного фактора дополнительным использованием другого. То есть, уменьшение использования труда можно компенсировать дополнительным использованием капитала (например, приобретая новое производственное оборудование, которое обслуживается меньшим числом работников).

1.3. Эластичность замещения факторов

На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что основным вопросом производственной функции является вопрос правильной комбинации факторов производства, при которой уровень выпуска продукции будет оптимальный, то есть, приносящий наибольшую прибыль. В целях поиска оптимальной комбинации, необходимо ответить на вопрос: На какую величину надо увеличить затраты одного фактора при снижении затрат другого на единицу. Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи введения такого понятия, как

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS (marginal rate of technical substitution), которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.

Предельную норму технического замещения характеризует наклон изоквант. Более крутой наклон изокванты показывает что, при увеличении количества труда на единицу, нужно будет отказаться от нескольких единиц капитала для сохранения данного уровня производства. MRTS выражается формулой:

MRTS L , K =–DK/DL

Изокванты могут иметь различную конфигурацию.

Линейная изокванты на рисунке 1.2(а) предполагает совершенную замещаемость производственных ресурсов, то есть, данный выпуск может быть получен с помощью либо только труда, либо только капитала, либо с помощью комбинации этих ресурсов.

Изокванта, представленная на рисунке 1.2(б) характерна для случая жесткой дополняемости ресурсов. В этом случае известен лишь один технически эффективный способ производства. Такую изокванту иногда называют изоквантой леонтьевского типа (см. далее), по имени экономиста В.В. Леонтьева, предложившего такой тип изокванты. На рисунке 1.2(в) показана ломаная изокванта, предполагающая наличие нескольких методов производства (P). При этом предельная норма технического замещения при движении вдоль изокванты сверху вниз убывает. Изокванта подобной конфигурации используется в линейном программировании – методе экономического анализа. Ломаная изокванта реалистично представляет производственные возможности современных производств. Наконец, на рисунке 1.2(г) представлена изокванта, предполагающая возможность непрерывной, но не совершенной замещаемости ресурсов.

K а) KQ 2 б)

Рисунок 1.2. Возможные конфигурации изоквант.

1.4. Эластичность производственной функции и отдача от масштаба.

Предельный продукт некоторого ресурса характеризует абсолютное изменение выпуска продукта, приходящегося на единицу изменения расхода данного ресурса, причем изменения предполагаются малыми. Для производственной функции предельный продукт i- того ресурса равен частной производной: .

Влияние относительного изменения расхода i-того фактора на выпуск продукта, представленное также в относительной форме, характеризуется частной эластичностью выпуска по затратам этого продукта:

Для простоты будем обозначать . Частная эластичность производственной функции равна отношению предельного продукта данного ресурса к его среднему продукту.

Рассмотрим частный случай, когда эластичность производственной функции по некоторому аргументу – постоянная величина.

Если по отношению к исходным значениям аргументов x 1 , x 2 ,…,x n один из аргументов (i- тый) изменится в один раз, а остальные станутся на прежних уровнях, то изменение выпуска продукта описывается степенной функцией: . Полагая I=1, найдем, что A=f(x 1 ,…,x n), и поэтому .

В общем случае, когда эластичность – переменная величина, равенство (1) является приближенным при значениях I, близких к единице, т.е. при I=1+e, и тем более точным, чем ближе e/к нулю.

Пусть теперь затраты всех ресурсов изменились в I раз. Последовательно применяя только что описанный прием к x 1 , x 2 ,…,x n , можно убедиться в том, что теперь

Сумма частных эластичностей некоторой функции по всем ее аргументам получила название полной эластичности функции. Вводя обозначение для полной эластичности производственной функции, мы можем представить полученный результат в виде

Равенство (2) показывает, что полная эластичность производственной функции позволяет дать отдаче от масштаба числовое выражение. Пусть расход всех ресурсов немного увеличился с сохранением всех пропорций (I>1). Если E>1, то выпуск продукции увеличился больше, чем в I раз (возрастающая отдача от масштаба), а если E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции изменится в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).

Выделение короткого и длительного периодов при описании характеристик производства – грубая схематизация. Изменение объемов потребления различных ресурсов – энергии, материалов, рабочей силы, станков, зданий и т. д. – требует различного времени. Допустим, что ресурсы перенумерованы в порядке убывания подвижности: быстрее всего можно изменить x 1 , а затем x 2 и т. д., а изменение x n требует наибольшего времени. Можно выделить сверхкороткий, или нулевой период, когда не может измениться ни один фактор; 1-й период, когда изменяется только x 1; 2-й период, допускающий изменение x 1 и x 2 и т.д.; наконец, длительный, или n-й период, в течении которого могут измениться объемы всех ресурсов. Различных периодов, таким образом, оказывается n+1.

Рассматривая некоторый промежуточный по величине, k-й период, мы можем говорить о соответствующей этому периоду отдачи от масштаба, имея в виду пропорциональное изменение объемов тех ресурсов, которые в этом периоде могут изменяться, т.е. x 1 , x 2 ,…, x k . Объемы x k +1 , x n , при этом сохраняют фиксированные значения. Соответствующий этому показатель отдачи от масштаба равен e 1 +e 2 +…+e k .

Удлиняя период, мы добавляем к этой сумме следующие слагаемые, пока не получится значение E для длительного периода.

Поскольку производственная функция возрастает по каждому аргументу, все частные эластичности e 1 положительны. Отсюда следует, что чем продолжительнее период, тем больше отдача от масштаба.

1.5. Свойства производственной функции

Для каждого вида производства может быть построена своя производственная функция, тем не менее каждая из них будет обладать следующими фундаментальными свойствами:

1. Существует предел роста объема производства, который достигается посредством увеличения использования одного ресурса при прочих равных параметрах. Примером может служить невозможность увеличения объема производства (при достижении конкретного его значения) на определенном предприятии за счет привлечения новых работников при заданных основных фондах. Можно достичь такой точки, когда каждый отдельный работник не будет обеспечен средствами труда для работы, рабочим местом, его присутствие явится помехой другим занятым, и прирост производства от найма этого предельного работника будет приближаться к нулю или даже станет отрицательным.

2. Есть определенная взаимная дополняемость (комплементарность) факторов производства, но без сокращения объема производства возможна и определенная взаимная их заменяемость. Например, для получения данного урожая определенный размер посевной площади может быть обработан большим числом рабочих вручную, без применения удобрений и современных средств производства. На этом же участке для производства необходимого количества урожая может трудиться несколько работников, использующих сложные машины и разнообразные удобрения. Следует отметить, что при условии взаимодополнения ни один из традиционных ресурсов (земля, труд, капитал) не может быть полностью вытеснен другими (не будет взаимодополнения). Механизм же взаимозамещения действует на противоположной посылке: некоторый вид ресурса может быть замещен другим. Взаимодополнение и взаимозамещение имеют противоположную направленность. Если взаимодополнение требует обязательного наличия всех ресурсов, то взаимозамещение в своей крайней форме может привести к полному исключению некоторого из них.

Анализ производственной функции предполагает необходимость разграничения краткосрочного и долгосрочного периодов времени. В первом случае имеется в виду такой временной интервал, в течение которого объем производства может регулироваться только при помощи изменения количества используемых переменных факторов, в то время как постоянные затраты остаются неизменными. Факторы производства, затраты которых неизменны в краткосрочном периоде времени, называются постоянными.

Соответственно факторы производства, размер которых изменяется в краткосрочном периоде - переменные. Долгосрочный период времени рассматривается как интервал, который достаточен для того, чтобы предприятие могло изменить затраты всех факторов производства. Это означает, что в данном случае не существует пределов для роста объема производства и все факторы становятся переменными. В наиболее общем виде различия краткосрочного и долгосрочного интервалов могут быть сведены к следующему.

Во-первых, это касается условий хозяйствования. В краткосрочном периоде значительное расширение объема производства невозможно, ограничивается имеющимися производственными мощностями фирмы. В длительном периоде фирма имеет больше свободы в отношении увеличения объемов выпуска, поскольку все факторы производства становятся переменными.

Во-вторых, необходимо учитывать специфику издержек производства. Краткосрочный период характеризуется наличием как постоянных, так и переменных издержек производства, в долгосрочном периоде все издержки становятся постоянными.

В-третьих, краткосрочный период предполагает постоянство фирм, работающих в данной отрасли. В долгосрочном периоде имеется реальная возможность выхода или вступления в отрасль новых конкурентов.

В-четвертых, следует определить возможности извлечения экономической прибыли в рассматриваемые периоды. В условиях долгосрочного периода экономическая прибыль равна нулю. В краткосрочном периоде экономическая прибыль может быть как положительной, так и отрицательной.

ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

1) без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;

2) при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;

3) с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;

4) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то ;

5) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;

6) при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то ;

7) ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

Глава II . Виды производственных функций

2.1. Определение линейно - однородных производственных функций

Производственная функция называется однородной степени n, если при умножении ресурсов на некоторое число k полученный объем производства будет в kn раз отличаться от первоначального. Условия однородности производственной функции записывается следующим образом:

Q = f (kL, kK) = knQ

Например, в день затрачивается 9 часов труда (L) и 9 часов работы машин (К). Пусть при данном сочетании факторов L и Kфирма может производить в день продукции на сумму 200 тыс. рублей. В этом случае производственная функция Q = F(L,K) будет представлена следующим равенством:

Q = F(9; 9) = 200 000, где F – определённого вида алгебраическая формула, в которую подставляются значения L и T.

Допустим, фирма принимает решение увеличить работу капитала и применение труда в два раза, что приводит к росту объёма выпускаемой продукции до 600 тыс. рублей. Получаем, что умножение факторов производства на 2 приводит к увеличению объёма производства в 3 раза, то есть, используя условия однородности производственной функции:

Q = f (kL, kK) = knQ, получаем:

Q = f (2L, 2K) = 2×1,5×Q, то есть, в данном случае мы имеем дело с однородной производственной функцией степени 1,5.

Показатель степени n называется степенью однородности.

Если n = 1, то говорят, что функция однородна первой степени или линейно однородна. Линейно однородная производственная функция представляет интерес тем, что для нее характерна постоянная отдача, то есть, при увеличении факторов производства объём выпускаемой продукции постоянно увеличивается в одинаковой мере.

Если n>1, то производственная функция демонстрирует возрастающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к ещё большему росту объёма производства (например: увеличение факторов в два раза ведёт к увеличению объёма в 2 раза; в 3 раза – к увеличению в 6 раз; в 4 раза – к увеличению в 12 раз и т.д.) Если n<1, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к уменьшению отдачи по росту объёмов производства (например: увеличение факторов в 2 раза – ведёт к увеличению объемов в 2 раза; увеличение факторов в 3 раза – к увеличению объёмов в 1,5 раз; увеличение факторов в 4 раза – к увеличению объёмов в 1,2 раза и т.д.).

2.2. Виды линейно-однородных производственных функций

Примерами линейно однородных производственных функций являются производственная функция Кобба-Дугласа и производственная функция с постоянной эластичностью замещения.

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США экономистами Коббом и Дугласом. Исследования Пола Дугласа в сфере обрабатывающей промышленности США и последующая их обработка Чарльзом Коббом привели к появлению математического выражения, описывающего влияние применения труда и капитала на выработку продукции в обрабатывающей отрасли, в виде равенства:

Ln(Q) = Ln(1,01) + 0,73×Ln(L) + 0.27×Ln(K)

В общем виде производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Q = AK α L β ν

lnQ = lnA + α lnK + βlnL + lnν

Если α+β<1, то наблюдается убывающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.в). Если α+β=1, то существует постоянная отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.а). Если α+β>1, то наблюдается возрастающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.б).

В производственной функции Кобба-Дугласа степенные коэффициенты α и β в сумме выражают степень однородности производственной функции:

Предельная норма технического замещения капитала трудом при данной технологии определяется по формуле:

׀MRTS L , K ׀ =

Если внимательно посмотреть на функцию Кобба-Дугласа для обрабатывающей промышленности США, рассчитанную в 1920-е годы, то можно ещё раз, уже на конкретном примере отметить, что производственная функция является математическим выражением (через определённую алгебраическую форму) зависимости объёмов производства (Q) от объёмов использования факторов производства (Lи K). Так, придавая конкретные значения переменным L и K можно определить предполагаемые объёмы выпуска продукции (Q) для обрабатывающей промышленности США в 1920-е годы.

Эластичность замещения в производственной функции Кобба-Дугласа всегда равна 1.

Но производственная функция Кобба-Дугласа имела некоторые недостатки. Для преодоления ограничения функции Кобба-Дугласа, которая всегда является однородной в первой степени, в 1961 г. несколькими экономистами (К. Эрроу, Х. Ченери, Б. Минхас и Р. Солоу) была предложена производственная функция с постоянной эластичностью замещения. Это линейно однородная производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов. Позже была предложена и производственная функция с переменной эластичностью замещения. Она представляет собой обобщение производственной функции с постоянной эластичностью замещения, допускающее изменение эластичности замещения с изменением отношения между затрачиваемыми ресурсами.

Линейно однородная производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов имеет следующий вид:

Q = а -1/b ,

Эластичность замещения факторов для данной производственной функции определяется формулой:

2.3. Другие виды производственных функций

Другим видом производственной функции является линейная производственная функция, которая имеет следующий вид:

Q(L,K) = aL + bK

Данная производственная функция является однородной первой степени, следовательно, она имеет постоянную отдачу от масштабов производства. Графически данная функция представлена на рисунке 1.2, а.

Экономический смысл линейной производственной функции состоит в том, что она описывает такое производство, в котором факторы являются взаимозаменяемыми, то есть, не имеет значения – использовать только труд или только капитал. Но в реальной жизни такая ситуация практически не возможна, так как любая машина все равно обслуживается человеком.

Коэффициенты a и b функции, которые находятся при переменных L и Kпоказывают пропорции, в которых один фактор может быть замещён другим. Например, если a=b=1, то это значит, что 1 час труда может быть заменен 1 часом машинного времени для того, чтобы произвести такой же объём продукции.

Необходимо отметить, что в некоторых видах хозяйственной деятельности труд и капитал вообще не могут заменить друг друга и должны использоваться в фиксированной пропорции: 1 рабочий - 2 станка, 1 автобус - 1 водитель. В этом случае эластичность замещения факторов равна нулю, а технология производства отображается производственной функцией Леонтьева:

Q(L,K) = min{; },

Если, например, на каждом автобусе дальнего следования должно быть два водителя, то при наличии в автобусном парке 50 автобусов и 90 водителей одновременно могут обслуживаться только 45 маршрутов:
min{90/2;50/1} = 45.

Приложение

Примеры решения задач с использованием производственных функций

Задача 1

Фирма, занимающаяся речными перевозками, использует труд перевозчиков (L) и паромы (K). Производственная функция имеет вид . Цена единицы капитала равна 20, цена единицы труда равна 20. Каков будет наклон изокосты? Какое количество труда и капитала должна привлечь фирма для осуществления 100 перевозок?

3. капитал;

4. предпринимательская способность;

5. научно-технический прогресс.

Все эти факторы тесно взаимосвязаны между собой.

Производственная функция – это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом главная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в построении производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия.

В теории производства в основном используют двухфакторную производственную функцию, которая в общем виде выглядит так:

Q = f ( K , L ), где Q - объем производства; К - капитал; L – труд.

Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи такого понятия, как эластичность замещения факторов производства.

Эластичность замещения – это соотношение затрат замещающих друг друга факторов производства при неизменном объёме выпуска продукции. Это своего рода коэффициент, который показывает степень эффективности замещения одного фактора производства другим.

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS, которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.

Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства.

Денежные средства как правило ограничены. Линия, образуемая множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах, называется изокостой. Таким образом, оптимальным сочетанием факторов для конкретного предприятия является общее решение уравнений изокосты и изокванты. Графически – это точка касания линий изокосты и изокванты.

Производственная функция может быть записана в самых различных алгебраических формах. Как правило, экономисты работают с линейно однородными производственными функциями.

В работе также были рассмотрены конкретные примеры решения задач с применением производственных функций, которые позволили сделать вывод о их большой практической значимости в экономической деятельности любого предприятия.

Список используемой литературы

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.

3. Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.

4. Микроэкономика. Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.

5. Салманов О. Математическая экономика. – М.: BHV, 2003.

6. Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике. – М.: Финансы и статистика, 2004.

7. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.: Юнити-Дана, 2000.

Большой коммерческий словарь./Под редакцией Рябовой Т.Ф. – М.: Война и мир, 1996. С. 241.

Производством называется любая человеческая деятельность по преобразованию ограниченных ресурсов - материальных, трудовых, природных - в готовую продукцию.Производственная функция характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов (факторов производства) и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.

Производственная функция обладает следующими свойствами:

1. Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.

2. Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.

3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды.Мгновенный период - период, когда все ресурсы являются фиксированными.Короткий период - период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным.Длительный период - период, когда все ресурсы являются переменными.

Как правило, рассматриваемая производственная функция выглядит так:

A, α, β - заданные параметры. ПараметрА - это коэффициент совокупной производительности факторов производства. Он отражает влияние технического прогресса на производство: если производитель внедряет передовые технологии, величинаА возрастает, т.е. выпуск увеличивается при прежних количествах труда и капитала. Параметры α и β - это коэффициенты эластичности выпуска соответственно по капиталу и труду. Иными словами, они показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент. Коэффициенты эти положительны, но меньше единицы. Последнее означает, что при росте труда при постоянном капитале (либо капитала при постоянном труде) на один процент производство возрастает в меньшей степени.

Изокванта (линия равного продукта) отражает все комбинации двух факторов производства (труда и капитала), при которых выпуск остается неизменным. На рис. 8.1 рядом с изоквантой проставлен соответствующий ей выпуск. Так, выпуск , достижим при использовании труда и капитала или с использованием труда и капитана.

Рис. 8.1. Изокванта

Если отложить по горизонтальной оси количество единиц труда, а по вертикальной - количество единиц капитала, затем обозначить точки, в которых фирма выпускает один и тот же объем, то получится кривая, представленная на рисунке 14.1 и называемая изоквантой.

Каждая точка изокванты соответствует комбинации ресурсов, при которой фирма выпускает заданный объем продукции.

Набор изоквант, характеризующий данную производственную функцию, называется картой изоквант .

Свойства изоквант

Свойства стандартных изоквант аналогичны характеристикам кривых безразличия:

1. Изокванта, так же как и кривая безразличия, является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек.

2. Для любого заданного объема выпуска может быть проведена своя изокванта, отражающая различные комбинации экономических ресурсов, обеспечивающих производителю одинаковый объем производства (изокванты, описывающие данную производственную функцию, никогда не пересекаются).

3. Изокванты не имеют участков возрастания (Если бы участок возрастания существовал, то при движении вдоль него увеличивалось бы количество как первого, так и второго ресурса).

Понятие рынка. В самом общем виде рынок - это система экономических отношений, складывающихся в процессе производства, обращения и распределения товаров, а также движения денежных средств. Рынок развивается вместе с развитием товарного производства, вовлекая в обмен не только произведенные продукты, но и продукты, не являющиеся результатом труда (земля, дикорастущий лес). В условиях господства рыночных связей все отношения людей в обществе охвачены куплей-продажей.

Более конкретно рынок представляет сферу обмена (обращения), в которой

осуществляется связь между агентами общественного производства в форме

купли-продажи, т. е. связь производителей и потребителей, производства и

потребления.

Субъектами рынка являются продавцы и покупатели. В качестве продавцов

и покупателей выступают домохозяйства (в составе одного или нескольких

лиц), фирмы (предприятия), государство. Большинство субъектов рынка

действуют одновременно и как покупатели, и как продавцы. Все хозяйственные

субъекты тесно взаимодействуют на рынке, образуя взаимосвязанный «поток»

купли-продажи.

Фирма – это самостоятельный экономический субъект, занимающийся коммерческой и производственной деятельностью и обладающий обособленным имуществом.

Фирма имеет следующие признаки:

представляет собой экономически обособленную, самостоятельную хозяйственную единицу;
юридически зарегистрирована и в этом плане относительно независима: имеет собственный бюджет, устав и бизнес-план
является своеобразным посредником в производстве
любая фирма самостоятельно принимает все решения, связанные с ее функционированием, поэтому можно говорить о ее производственной и коммерческой независимости
целями фирмы считаются получение прибыли и минимизация издержек.

Фирма как самостоятельный экономический субъект выполняет ряд важных функций.

1. Производственная функция подразумевает способность фирмы организовать производство по изготовлению товаров и услуг.

2. Коммерческая функция обеспечивает материально-техническое снабжение, сбыт готовой продукции, а также маркетинг и рекламу.

3. Финансовая функция: привлечение инвестиций и получение кредитов, расчеты внутри фирмы и с партнерами, выпуск ценных бумаг, уплата налогов.

4. Счетная функция: составление бизнес-плана, балансов и смет, проведение инвентаризации и отчетов в органы государственной статистики и налогов.

5. Административная функция – функция управления, включающая организацию, планирование и контроль над деятельностью в целом.

6. Правовая функция осуществляется через соблюдение законов, норм и стандартов, а также через выполнение мер по охране факторов производства.

Нельзя отождествлять эластичность и наклон кривой спроса, ибо это разные понятия. Различия между ними можно проиллюстрировать на эластичности прямой линии спроса (рис. 13.1).

На рис. 13.1 мы видим, что прямая линия спроса в каждой точке имеет одинаковый наклон. Однако выше середины спрос эластичный, ниже середины спрос неэластичный. В точке, расположенной посередине, эластичность спроса равна единице.

Об эластичности спроса можно судить по наклону только вертикальной или горизонтальной линии.

Рис. 13.1. Эластичность и наклон - разные понятия

Наклон кривой спроса – его пологость или крутизна - зависит от абсолютных изменений цены и количества продукции, тогда как теория эластичности имеет дело с относительными, или процентными, изменениями цены и количества. Различие между наклоном кривой спроса и его эластичностью можно также вполне уяснить себе, подсчитав показатель эластичности для различных комбинаций цены и количества продукции, расположенных на прямолинейной кривой спроса. Вы обнаружите, что, хотянаклон, очевидно, остается неизменным на всем протяжении кривой, спрос является эластичным на отрезке высоких цен и неэластичным - на отрезке низких цен.

ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА ПО ДОХОДУ - мера чувствительности спроса к изменению дохода; отражает относительное изменение спроса на какое-либо благо вследствие изменения дохода потребителя.

Эластичность спроса по доходу выступает в следующих основных формах:

· положительная, предполагающая, что увеличение дохода (при прочих равных условиях) сопровождается ростом объемов спроса. Положительная форма эластичности спроса по доходу относится к нормальным товарам, в частности, к товарам роскоши;

· отрицательная, предполагающая сокращение объема спроса с увеличением дохода, т. е. существование обратного соотношения между доходом и объемом покупок. Эта форма эластичности распространяется на некачественные блага;

· нулевая, означающая, что объем спроса нечувствителен к изменению дохода. Это блага, потребление которых нечувствительно к доходам. К ним, в частности, относятся товары первой необходимости.

Эластичность спроса по доходу зависит от следующих факторов:

· от значимости того или иного блага для бюджета семьи. Чем больше благо нужно семье, тем меньше его эластичность;

· является ли данное благо предметом роскоши или первой необходимости. Для первого блага эластичность выше, чем для последнего;

· от консерватизма спроса. При увеличении дохода потребитель не сразу переходит на потребление более дорогих благ.

Необходимо отметить, что для потребителей, имеющих разный уровень дохода, одни и те же товары могут относиться или к предметам роскоши, или к предметам первой необходимости. Подобная оценка благ может иметь место и для одного и того же индивида, когда у него изменяется уровень дохода.

На рис. 15.1 изображены графики зависимости QD от I при различных значениях эластичности спроса по доходу.

Рис. 15.1. Эластичность спроса по доходу: а) качественные неэластичные блага; б) качественные эластичные блага; в) некачественные блага

Сделаем краткий комментарий к рис. 15.1.

Спрос на неэластичные блага увеличивается с ростом дохода лишь при низких доходах домохозяйств. Затем начиная с некоторого уровня I1 спрос на эти блага начинает сокращаться.

Спрос на эластичные блага (например предметы роскоши) до некоторого уровня I2 отсутствует, поскольку домохозяйства не имеют возможности приобретать их, а затем увеличивается с увеличением дохода.

Спрос на некачественные блага вначале увеличивается, но начиная со значения I3 сокращается.

Похожая информация.

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО- ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

ЭКОНОМЕТРИКА

Производственные функции

(Материалы к лекции)

Подготовила доцент кафедры

Филонова Е.С. (филиал в г. Орле)

Текст лекции на тему «Производственные функции»

по дисциплине «Эконометрика»

План:

Введение

Понятие производственной функции одной переменной

Производственные функции нескольких переменных

Свойства и основные характеристики производственных функций

Примеры использования производственных функций в задачах экономического анализа, прогнозирования и планирования

Основные выводы

Тесты контроля усвоенного материала

Литература

Введение

Понятие производственной функции одной переменной

Рассмотрение понятия «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда производство обусловлено только одним фактором. В этом случае п роизводственная функция – это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции

В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения – множество неотрицательных действительных чисел. Символ f является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. В микроэкономической теории принято считать, что y – максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве x единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ – статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной является символика

где а – вектор параметров ПФ.

Пример 1. Возьмем ПФ f в виде f(x)=ax b , где х – величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) – объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины а и b – параметры ПФ f. Здесь a и b – положительные числа и число b1, вектор параметров есть двумерный вектор (a,b). ПФ у=ax b является типичным представителем широкого класса однофакторных ПФ.

График ПФ изображен на рисунке 1

На графике видно, что с ростом величины затрачиваемого ресурса y растет. однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема y выпускаемой продукции. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории (хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности (убывающей производительности или убывающей отдачи).

В качестве простого примера возьмем однофакторную производственную функцию, характеризующую производство фермером какого-либо сельскохозяйственного продукта. Пусть все факторы производства, такие как величина земельных угодий, наличие у фермера сельскохозяйственной техники, посевного материала, количество труда, вложенного в производство продукта, остаются из года в год постоянными величинами. Меняется только один фактор – количество применяемых удобрений. В зависимости от этого изменяется величина получаемого продукта. Вначале, с ростом переменного фактора, она увеличивается достаточно быстро, затем рост общего продукта замедляется, а начиная с определенных объемов применяемых удобрений, величина получаемого продукта начинает убывать. Дальнейшее увеличение переменного фактора не дает увеличения продукта.

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты-выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у=ax b , рассмотренная выше, может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течении года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) – имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом – имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Точное толкование понятий затрачиваемого или используемого ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых задач, наличия исходных данных. На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах или в рублях выплаченной заработной платы; выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах или в виде своей стоимости.

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные агрегаты, то есть суммарные величины произведений объемов затрачиваемых ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Производственные функции нескольких переменных

Перейдем теперь к рассмотрению производственных функций нескольких переменных.

Производственная функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

y=f(x)=f(x 1 ,…,х n). (2)

В формуле (2) у (у0) – скалярная, а х – векторная величина, x 1 ,…,х n --координаты вектора х, то есть f(x 1 ,…,х n) есть числовая функция нескольких переменных x 1 ,…,х n . В связи с этим ПФ f(x 1 ,…,х n) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x 1 ,…,х n ,а), где а – вектор параметров ПФ.

По экономическому смыслу все переменные этой функции неотрицательны, следовательно, областью определения многофакторной ПФ является множество n-мерных векторов х, все координаты x 1 ,…,х n которых неотрицательные числа.

Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ f(x 1 ,…,х n) может связывать объем выпуска с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х 1 (=К) – объем используемого в течение года основного капитала) и живой труд (х 2 (=L) – количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом, строят двухфакторную ПФ Y=f(K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

ПФ y=f(x 1 ,x 2) называется статической , если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, то есть могут иметь представление в виде временных рядов: x 1 (0), x 1 (1),…, x 1 (Т); x 2 (0), x 2 (1),…, x 2 (Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Здесь t – номер года, t=0,1,…,Т; t= 0 – базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,…,Т.

Пример 2. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (то есть для решения задач на макроэкономическом, а также на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида y=
, где а 0 , а 1 , а 2 – параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а 1 и а 2 таковы, что а 1 +а 2 =1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г.

ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу, так называемых, мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х 1 =К равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов – в отечественной терминологии),
- затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

Y=
.

Историческая справка

В 1927 г. Пол Дуглас, экономист по образованию, обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (Y ), капитальных вложений (К) и затрат труда (L ), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к математику Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую функцию:

Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филиппом Уикстидом, как было указано Ч.Коббом и П.Дугласом в их классической работе (1929 г.), но они были первыми, кто использовал для ее построения эмпирические данные. Авторы не описывают, каким образом они на самом деле подобрали функцию, но предположительно они использовали форму регрессионного анализа, так как ссылались на «теорию наименьших квадратов».

Пример 3. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид:
(двухфакторная) и (многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

этот переход имеет вид: . Вводя соответствующую замену, получим аддитивную ПФ .

Если сумма показателей степени в ПФ Кобба-Дугласа равна единице, то ее можно записать в несколько другой форме:

т.е.
.

Дроби
называются соответственно производительностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получаем

т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД. В связи с тем, что 0 1

Отметим, что дробь называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби
называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

ПФ называется динамической , если:

время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным временных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью лет, то экстраполяционные расчеты по такой ПФ следует проводить не более, чем на 1/3 лет вперед.

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП , где параметр р (р>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

(t=0,1,…,Т).

Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть нематериализованный в одном из факторов технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t)×K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Пример 4. Приведем вариант ПФКД с учетом НТП

Расчет численных значений параметров такой функции проводится с помощью корреляционного и регрессионного анализа.

Выбор аналитической формы ПФ
диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами или экономических закономерностей. Оценка параметров ПФ обычно проводится методом наименьших квадратов.

Свойства и основные характеристики производственных функций

Для производства конкретного продукта требуется сочетание разнообразных факторов. Несмотря на это, различные производственные функции обладают рядом общих свойств.

Для определенности ограничимся производственными функциями двух переменных
. Прежде всего необходимо отметить, что такая производственная функция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, то есть при. ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

Подобно линии уровня целевой функции оптимизационной задачи, для ПФ также имеет место аналогичное понятие. Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ. Возрастание одного фактора и уменьшение другого могут происходить таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне. Изокванты как раз и определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.

Из рисунка 2 видно, что вдоль изокванты выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

Изокванты обладают следующими свойствами :

Изокванты не пересекаются.

Большей удаленности изокванты от начала координат соответствует больший уровень выпускаемой продукции.

Изокванты - понижающиеся кривые, имеют отрицательный наклон.

Изокванты являются подобием кривых безразличия с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства.

Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS ) . Рассмотрим эту величину на примере двухфакторной производственной функции Q(y,x). Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора х. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS берется со знаком минус:

На рисунке 3 изображена одна из изоквант ПФ Q(y,x)

Если взять какую-либо точку на этой изокванте, например, точку А и провести к ней касательную КМ, то тангенс угла даст нам значение MRTS:

Можно отметить, что в верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора х на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS будет велико. По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора х на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y. При полной заменяемости факторов изокванты из кривых преобразуются в прямые.

Один из наиболее интересных примеров использования изоквант ПФ – это исследование эффекта масштаба производства (см. свойство 7).

Что эффективнее для экономики: один крупный завод или несколько мелких предприятий? Ответ на этот вопрос не так прост. Плановая экономика отвечала на него однозначно, отдавая приоритет промышленным гигантам. С переходом к рыночной экономике началось повсеместное разукрупнение созданных ранее объединений. Где же золотая середина? Доказательный ответ на этот вопрос можно получить, исследовав эффект масштаба производства.

Представим, что на обувной фабрике руководство приняло решение значительную часть полученной прибыли направить на развитие производства с целью увеличения объемов производимой продукции. Допустим, что капитал (оборудование, станки, производственные площади) увеличен в два раза,. Численность работников увеличилась в такой же пропорции. Возникает вопрос, что произойдет в таком случае с объемом выпускаемой продукции?

Из анализа рисунка 5

следуют три варианта ответа:

Количество продукции возрастет в два раза (постоянная отдача от масштаба);

Увеличится более, чем в два раза (возрастающая отдача от масштаба);

Увеличится, но меньше, чем в два раза (убывающая отдача от масштаба).

Постоянная отдача от масштаба производства объясняется однородностью переменных факторов. При пропорциональном увеличении капитала и труда на таком производстве средняя и предельная производительность этих факторов останется неизменной. В таком случае безразлично, будет ли работать одно крупное предприятие или вместо него будет создано два мелких.

При убывающей отдаче от масштаба невыгодно создавать крупное производство. Причиной низкой эффективности в таком случае, как правило, являются дополнительные затраты, связанные с управлением подобным производством, сложности координации крупного производства.

Возрастающая отдача от масштаба, как правило, характерна, для тех производств, где возможна широкая автоматизация производственных процессов, применение поточных и конвейерных линий. Но с тенденцией возрастающей отдачи от масштаба нужно быть очень осторожным. Рано или поздно она превращается в постоянную, а затем и в убывающую отдачу от масштаба.

Остановимся на некоторых характеристиках производственных функций, наиболее важных для экономического анализа. Рассмотрим их на примере ПФ вида
.

Как уже было отмечено выше, отношение
(i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-му ресурсу. Первая частная производная ПФ
(i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса или предельным выпуском по i-му ресурсу. Эту предельную величину иногда интерпретируют, используя близкое к ней отношение малых конечных величин
. Приближенно она показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i-го ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Например, в ПФКД для средних производительностей основного капитала у/К и труда у/L используются соответственно термины капиталоотдача и производительность труда:

Определим для этой функции предельные производительности факторов:

и
.

Таким образом, если
, то
(i=1,2), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности
i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства

или приближенно

Таким образом, эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Сумма +=Е называется эластичностью производства. Например, для ПФКД =, и Е= .

Производственные функции позволяют количественно проанализировать важнейшие экономические зависимости в сфере производства. Они дают возможность оценить среднюю и предельную эффективность различных ресурсов производства, эластичность выпуска по различным ресурсам, предельные нормы замещения ресурсов, эффект от масштаба производства и многое другое.

Пример 1. Предположим, что процесс производства описывается с помощью функции выпуска

Оценим основные характеристики этой функции для способа производства, при котором К=400, а L=200.

Решение.

Предельные производительности факторов.

Для расчета этих величин определим частные производные функции по каждому из факторов:

Таким образом, предельная производительность фактора труд в четыре раза превышает аналогичную величину для фактора капитал.

Эластичность производства.

Эластичность производства определяется суммой эластичностей выпуска по каждому фактору, то есть

Предельная норма замещения ресурсов.

Выше в тексте эта величина обозначалась
и равнялась
. Таким образом, в нашем примере

то есть для замещения единицы труда в этой точке необходимы четыре единицы ресурсов капитала.

Уравнение изокванты.

Для определения формы изокванты необходимо зафиксировать значение объема выпуска (Y). Пусть, например, Y=500. Для удобства примем L функцией К, тогда уравнение изокванты примет вид

Предельная норма замещения ресурсов определяет тангенс угла наклона касательной к изокванте в соответствующей точке. Используя результаты п. 3, можно сказать, что точка касания расположена в верхней части изокваны, так как угол достаточно велик.

Пример 2. Рассмотрим функцию Кобба-Дугласа в общем виде

Предположим, что K и L удваиваются. Таким образом, новый уровень выпуска (Y) запишется следующим образом:

Определим эффект от масштаба производства в случаях, если
>1, =1 и

Если, например, =1,2, а
=2,3, то Y увеличивается больше, чем в два раза; если =1, а =2, то удвоение К и L приводит к удвоению Y; если =0,8, а =1,74, то Y увеличивается меньше, чем в два раза.

Таким образом, в примере 1 мог наблюдаться постоянный эффект от масштаба производства.

Историческая справка

В своей первой статье Ч.Кобб и П.Дуглас изначально предполагали постоянную отдачу от масштаба. Впоследствии они ослабили это допущение, предпочитая оценивать степень отдачи от масштаба производства.

Основная задача производственных функций все же – дать исходный материал для наиболее эффективных управленческих решений. Проиллюстрируем вопрос принятия оптимальных решений на основе использования производственных функций.

Пример 3. Пусть дана производственная функция, связывающая объем выпуска продукции предприятия с численностью рабочих , производственными фондами и объемом используемых станко-часов

откуда получим решение
, при котором у=2. Поскольку, например, точка (0,2,0) принадлежит допустимой области и в ней у=0, то делаем вывод, что точка (1,1,1) – точка глобального максимума. Экономические выводы из полученного решения очевидны.

В заключение отметим, что производственные функции можно использовать для экстарполяции экономического эффекта производства в заданный период будущего. Как и в случае обычных эконометрических моделей, экономический прогноз начинают с оценки прогнозных значений факторов производства. При этом можно использовать наиболее подходящий в каждом отдельном случае способ экономического прогноза.

Основные выводы

Тесты для проверки усвоенного материала

Выберите правильный ответ.

Что характеризует производственная функция?

А) общий объем использованных производственных ресурсов;

Б) наиболее эффективный способ технологической организации производства;

В) взаимосвязь затрат и максимального объема выпуска продукции;

Г) способ минимизации прибыли при условии минимизации затрат.

Какое из представленных уравнений есть уравнение производственной функции Кобба-Дугласа?

Г) y=
.

3. Что характеризует производственная функция с одним переменным фактором?

А) зависимость объема производства от цены на фактор,

Б) зависимость, при которой фактор х изменяется, а все остальные остаются постоянными,

В) зависимость, при которой все факторы изменяются, а фактор х остается постоянным,

Г) зависимость между факторами х и у.

4. Карта изоквант – это:

А) набор изоквант, показывающий выпуск продукции при определенном сочетании факторов;

Б) произвольный набор изоквант, показывающий предельную норму производительности переменных факторов;

В) комбинации линий, характеризующих предельную норму технологического замещения.

Верны или неверны утверждения?

Производственная функция отражает взаимосвязь используемых факторов производства и отношения предельных производительностей труда этих факторов.

Функция Кобба-Дугласа – это производственная функция, показывающая максимальный объем продукта при использовании труда и капитала.

Не существует предела роста произведенного продукта при одном переменном факторе производства.

Изокванта – это кривая равного продукта.

Изокванта показывает все возможные комбинации использования двух переменных факторов для получения максимального продукта.

Литература

Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.

Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.

Микроэкономика/ Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.

Мировая экономика. Варианты аудиторных работ для преподавателей. – М.: ВЗФЭИ, 2001.

Овчинников Г.П.. Микроэкономика. – Санкт-Петербург: Изд-во им. Володарского, 1997.

Политическая экономия; экономическая энциклопедия. – М.: Изд. «Сов. Энциклопедия», 1979.

Характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов () и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.

Производственная функция обладает следующими свойствами:

3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды. Мгновенный период — период, когда все ресурсы являются фиксированными. Короткий период — период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным. Длительный период - период, когда все ресурсы являются переменными.

Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска (q) от количества используемых труда () и капитала (). Напомним, что под капиталом понимаются средства производства, т.е. количество машин и оборудования, используемое в производстве и измеряемое в машино-часах (тема 2, п. 2.2). В свою очередь количество труда измеряется в человеко-часах.

Как правило, рассматриваемая производственная функция выглядит так:

A, α, β — заданные параметры. Параметр А — это коэффициент совокупной производительности факторов производства. Он отражает влияние технического прогресса на производство: если производитель внедряет передовые технологии, величина А возрастает, т.е. выпуск увеличивается при прежних количествах труда и капитала. Параметры α и β — это коэффициенты эластичности выпуска соответственно по капиталу и труду. Иными словами, они показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент. Коэффициенты эти положительны, но меньше единицы. Последнее означает, что при росте труда при постоянном капитале (либо капитала при постоянном труде) на один процент производство возрастает в меньшей степени.

Построение изокванты

Приведенная производственная функция говорит о том, что производитель может заменять труд капитаном и капитал трудом, оставляя выпуск неизменным. Например, в сельском хозяйстве развитых стран труд является высокомеханизированным, т.е. на одного работника приходится много машин (капитала). Напротив, в развивающихся странах тот же объем производства достигается за счет большого количества труда при незначительном капитале. Это позволяет построить изокванту (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Изокванта

Возможны и другие комбинации объемов труда и капитала, минимально необходимых для достижения данного выпуска.

Все комбинации ресурсов, соответствующих данной изокванте, отражают технически эффективные способы производства. Способ производства A является технически эффективным в сравнении со способом В , если он требует использования хотя бы одного ресурса в меньшем количестве, а всех остальных не в больших количествах в сравнении со способом В . Соответственно способ В является технически неэффективным в сравнении с А. Технически неэффективные способы производства не используются рациональными предпринимателями и не относятся к производственной функции.

Из вышесказанного вытекает, что изокванта не может иметь положительный наклон, как это показано на рис. 8.2.

Отрезок, выделенный пунктиром, отражает все технически неэффективные способы производства. В частности, в сравнении со способом А способ В для обеспечения одинакового выпуска () требует того же количества капитала, но большего количества труда. Очевидно, поэтому, что способ B не является рациональным и не может приниматься в расчет.

На основе изокванты можно определить предельную норму технической замены.

Предельная норма технической замены фактора Y фактором X (MRTS XY) — это количество фактора (например, капитала), от которого можно отказаться при увеличении фактора (например, труда) на 1 ед., чтобы выпуск не изменился (остаемся на прежней изокванте).

Рис. 8.2. Технически эффективное и неэффективное производство

Следовательно, предельная норма технической замены капитала трудом исчисляется по формуле

При бесконечно малых измененияхL и K она составляет

Таким образом, предельная норма технической замены есть производная функции изокванты в данной точке. Геометрически она представляет собой наклон изокванты (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Предельная норма технической замены

При движении сверху — вниз вдоль изокванты предельная норма технической замены все время убывает, о чем говорит уменьшающийся наклон изокванты.

Если же производитель увеличивает и труд, и капитал, то это позволяет ему достичь большего выпуска, т.е. перейти на более высокую изокванту (q 2). Изокванта, расположенная правее и выше предыдущей, соответствует большему объему выпуска. Совокупность изоквант образует карту изоквант (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Карта изоквант

Особые случаи изоквант

Напомним, что приведенные соответствуют производственной функции вида . Но бывают и другие производственные функции. Рассмотрим случай, когда имеет место совершенная замещаемость факторов производства. Допустим, например, что на складских работах можно использовать квалифицированных и неквалифицированных грузчиков, причем производительность квалифицированного грузчика в N раз выше, чем неквалифицированного. Это означает, что мы можем заменить любое количество квалифицированных грузчиков неквалифицированными в соотношении N к одному. И наоборот, можно заменить N неквалифицированных грузчиков одним квалифицированным.

Производственная функция при этом имеет вид: где — число квалифицированных рабочих, — число неквалифицированных рабочих, а и b — постоянные параметры, отражающие производительность соответственно одного квалифицированного и одного неквалифицированного рабочего. Соотношение коэффициентов а и b — предельная норма технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными. Она постоянна и равнаN : MRTS xy = a/b = N.

Пусть, например, квалифицированный грузчик в состоянии в единицу времени обработать 3 т груза (это будет коэффициент а в производственной функции), а неквалифицированный — только 1 т (коэффициент b). Значит, работодатель может отказаться от трех неквалифицированных грузчиков, дополнительно нанимая одного квалифицированного грузчика, чтобы выпуск (общий вес обработанного груза) при этом остался прежним.

Изокванта в данном случае является линейной (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Изокванта при совершенной заменяемости факторов

Тангенс угла наклона изокванты равен предельной норме технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными.

Еще одна производственная функция — функция Леонтьева. Она предполагает жесткую дополняемость факторов производства. Это означает, что факторы могут использоваться только в строго определенной пропорции, нарушение которой технологически невозможно. Например, авиационный рейс может быть нормально осуществлен при наличии как минимум одного самолета и пяти членов экипажа. При этом нельзя увеличивать самолето-часы (капитал), одновременно сокращая человеко-часы (труд), и наоборот, и сохранять неизменным выпуск. Изокванты в данном случае имеют вид прямых углов, т.е. предельные нормы технической замены равны нулю (рис. 8.6). В то же время можно увеличивать выпуск (количество рейсов), увеличивая в одной и той же пропорции и труд, и капитал. Графически это означает переход на более высокую изокванту.

Рис. 8.6. Изокванты в случае жесткой дополняемости факторов производства

Аналитически такая производственная функция имеет вид: q = min {aK; bL} , где а иb — постоянные коэффициенты, отражающие производительность соответственно капитала и труда. Соотношение этих коэффициентов определяет пропорцию использования капитала и труда.

В нашем примере с авиарейсом производственная функция выглядит так: q = min{1K; 0,2L} . Дело в том, что производительность капитала здесь составляет один рейс на один самолет, а производительность труда — один рейс на пять человек или 0,2 рейса на одного человека. Если авиакомпания располагает самолетным парком в 10 машин и имеет 40 человек летного персонала, то ее максимальный выпуск составит:q = min{ 1 х 8; 0,2 х 40} = 8 рейсов. Два самолета при этом будут простаивать на земле из-за нехватки персонала.

Взглянем, наконец, на производственную функцию, предполагающую существование ограниченного числа производственных технологий для производства заданного количества продукции. Каждой из них соответствует определенное состояние труда и капитала. В результате мы имеем ряд опорных точек в пространстве «труд-капитал», соединив которые, получаем ломаную изокванту (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Ломаные изокванты при наличии ограниченного числа производственных методов

На рисунке видно, что выпуск продукции в объемеq 1 можно получить при четырех комбинациях труда и капитала, соответствующих точкам А, B, С иD . Возможны также и промежуточные комбинации, достижимые в тех случаях, когда предприятие совместно использует две технологии для получения определенного совокупного выпуска. Как всегда, увеличив количества труда и капитала, мы переходим на более высокую изокванту.

Производственная функция представляет собой зависимость между. Производственная функция Кобба-Дугласа: примеры решения

Производство как процесс

Источник экономического благосостояния

Процесс создания продукта

Экономическая дефиниция

Простая линейная модель

Закон уменьшения отдачи

Многофакторные модели

Фиксированные пропорции

Идеальные субституты

Производственная функция Кобба-Дугласа: свойства

Исторические сведения

Допущения модели

Эластичность выпуска

Эффект масштаба

Временной фактор

Проблемы применения

Построение изокванты

Особые случаи изоквант

Знак зодиака водолей созвездие

Максимальный срок и размер больничного Кто оплачивает больничный лист в

Порядок заполнения нулевой декларации по ндс Нулевая декларация ндс за 1 квартал

Категории

Последние статьи

Что можно приготовить из баклажанов быстро и вкусно Как приготовить баклажаны на

Как измеряется расстояние до звезд и что такое световой год?

Чем отличается смерч от торнадо?

Противопоказания при грыже позвоночника

Распирание в голове причины

Столыпин, Петр Аркадьевич – биография и реформы

Как завести тесто на хворост: рецепты и рекомендации Хворост из слоеного дрожжевого теста на сковороде

Пицца без дрожжей – рецепт в домашних условиях в духовке

Салат берлинский с колбасой

Реклама

Производственная функция представляет собой зависимость между. Производственная функция Кобба-Дугласа: примеры решения

Производство как процесс

Источник экономического благосостояния

Процесс создания продукта

Экономическая дефиниция

Простая линейная модель

Закон уменьшения отдачи

Многофакторные модели

Фиксированные пропорции

Идеальные субституты

Производственная функция Кобба-Дугласа: свойства

Исторические сведения

Допущения модели

Эластичность выпуска

Эффект масштаба

Временной фактор

Проблемы применения

Построение изокванты

Особые случаи изоквант

Возможно вам будет интересно:

Категории

Последние статьи

Реклама