Разностные уравнения с непрерывным временем. Разностное уравнение. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Приведем пример:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию , обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":
На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Y x , представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x . Пусть сумма Y o положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада (x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Y x . Мы получаем
Y x = (1+r)Y x-1.
Если начальная сумма составляет Y o , мы приходим к задаче отыскания решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному условию Y x = Y o при x = 0. Полученное разностное уравнение содержит Y x и значение этой переменной на один год раньше, т.е. Y x-1; в данном случае аргумент x явно не входит в разностное уравнение.
Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает связь между значениями функции Y = Y(x ), рассматриваемой для ряда равноотстоящих значений аргумента x , но можно без ограничения общности считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если начальное значение аргумента есть x , то ряд его равноотстоящих значений будет x , x+1, x+2,... и в обратном направлении: x , x-1, x-2,.... Соответствующие значения функции будем обозначать Y x, Y x+1, Y x+2, ... или Y x , Y x-1, Y x-2, .... Определим так называемые разности различных порядков функции Y x с помощью следующих формул:
Разности первого порядка
D Y x = Y x+1 - Y x ,
D Y x+1 =Y x+2 - Y x+1,
D Y x+2 = Y x+3 - Y x+2,
... ... ... ... ...
Разности второго порядка
D 2 Y x = D Y x+1 - D Y x ,
D 2 Y x+1 = D Y x+2 - D Y x+1 ,
D 2 Y x+2 = D Y x+3 - D Y x+2 ,
... ... ... ... ...
Разности третьего порядка
D 3 Y x = D 2 Y x+1 - D 2 Y x ,
D 3 Y x+1 = D 2 Y x+2 - D 2 Y x+1 ,
... ... ... ... ...
Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x , его функцииY x и разностей различных порядков этой функции D Y x , D 2 Y x, D 3 Y x, .... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:
j (x , Y x , D Y x , D 2 Y x D 3 Y x , D n Y x ) = 0, (10.1)
которое по форме аналогично дифференциальному уравнению.
Порядком разностного уравнения называется порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение. Разностное уравнение (10.1) часто удобнее записать, пользуясь не разностями неизвестной функции, а ее значениями при последовательных значениях аргумента, то есть выразить D Y x , D 2 Y x, D 3 Y x ,... через Y x , Y x+1 , Y x+2, .... Уравнение (10.1) можно привести к одной из двух форм:
y (x , Y x , Y x+1, ...,Y x+n ) = 0, (10.2)
x (x , Y x , Y x-1, ...,Y x -n) = 0. (10.3)
Общее дискретное решение Y x обыкновенного разностного уравнения n -го порядка представляет функцию x (x = 0, 1. 2,...), содержащую ровно n произвольных постоянных:
Y x = Y(x, C 1 , C 2 ,..., C n ).
Паутинообразная модель
Пусть рынок какого-либо отдельного товара характеризуется следующими функциями спроса и предложения:
D = D(P), S = S(P).
Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынке был распродан, или
D( P) = S(P).
Цена равновесия задается этим уравнением (которое может иметь множество решений), а соответствующий объем покупок-продаж, обозначаемый через , - следующим уравнением:
D () = S( ).
Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса или предложения. Простейшая модель в дискретном анализе включает неизменное запаздывание или отставание предложения на один интервал:
D t = D (P t) и S t = S (P t-1).
Это может случиться, если для производства рассматриваемого товара требуется определенный период времени, выбранный за интервал. Действие модели таково: при заданном P t-1 предшествующего периода объем предложения на рынке в текущем периоде будет S (P t-1), и величина P t должна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара. Иными словами, P t и объем покупок-продаж X t характеризуются уравнением:
X t = D (P t) = S (P t-1).
Итак, зная исходную цену P o , с помощью этих уравнений мы можем получить значения P 1 и X 1. Затем, используя имеющуюся цену P 1, из соответствующих уравнений получим значения P 2 и X 2 и т.д. В общем изменение P t характеризуется разностным уравнением первого порядка (одноинтервальное отставание):
D (P t) = S (P t-1).
Решение можно проиллюстрировать диаграммой, представленной на рис.5, где D и S - соответственно кривые спроса и предложения, а положение равновесия (со значениями и ) соответствует точке их пересечения Q. Цена в начальный момент времени равна P o . Соответствующая точка Q o на кривой S дает объем предложения в период 1. Весь этот предложенный объем товара раскупается при цене P 1 , заданной точкой Q 1 на кривой D с той же ординатой (X 1), что и Q o . Во второй период времени движение происходит сначала по вертикали от точки Q 1 к точке на кривой S, дающей X 2, а затем по горизонтали - к точке Q 2 на кривой D. Последняя точка характеризует P 2 . Продолжение этого процесса и дает график паутины , показанный на рис. 5. Цены и объемы (покупок - продаж) в последовательные периоды времени являются соответственно координатами точек Q 1 , Q 2 , Q 3 ,... на кривой спроса D. В рассматриваемом случае последовательность точек стремится к Q. При этом точки поочередно располагаются на левой и правой стороне от Q. Следовательно, и значения цены P t стремятся к , располагаясь поочередно по обе стороны от . Точно так же обстоит дело и с объемами покупок - продаж (X t ).
Решение можно получить алгебраически для случая линейных функций спроса и предложения: D = a +aP , S = b +bP . Значения равновесия и будут заданы уравнениями
A +a = b +b ,
то есть
= (a - b )/(b - a), = (b a - a b )/(b - a). (10.4) . р t-1. (10.7)
Уравнения (10.7) аналогичны (10.5), за исключением того, что они описывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковые существуют). Оба эти уравнения являются разностными уравнениями первого порядка. Положим c = b /a и подставим его в уравнение (10.7), так что разностное уравнение относительно р t будет
р t = c р t-1 . (10.8)
При данном значении р o в момент t = 0 из (10.8) получаем решение:
р t = р o c t,
или
P t = + (P o - ) c t .
Системы, у которых входная и выходная последовательности и связаны линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, образуют подмножество класса линейных систем с постоянными параметрами. Описание ЛПП-систем разностными уравнениями очень важно, так как оно часто позволяет найти эффективные способы построения таких систем. Более того, по разностному уравнению можно определить многие характеристики рассматриваемой системы, включая собственные частоты и их кратность, порядок системы, частоты, соответствующие нулевому коэффициенту передачи, и т. д.
В самом общем случае линейное разностное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами, относящееся к физически реализуемой системе, имеет вид
(2.18)
где коэффициенты и описывают конкретную систему, причем . Каким именно образом порядок системы характеризует математические свойства разностного уравнения, будет показано ниже. Уравнение (2.18) записано в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий [например, , для ] и входную последовательность , по формуле (2.18) можно непосредственно вычислить выходную последовательность для . Например, разностное уравнение
(2.19)
с начальным условием и можно решить подстановкой, что дает
Хотя решение разностных уравнений прямой подстановкой и целесообразно в некоторых случаях, значительно полезнее получить решение уравнения в явном виде. Методы нахождения таких решений подробно освещены в литературе по разностным Уравнениям, и здесь будет дан лишь краткий обзор. Основная идея сводится к получению двух решений разностного уравнения: однородного и частного. Однородное решение получается путем подстановки нулей вместо всех членов, содержащих элементы входной последовательности , и определения отклика при нулевой входной последовательности. Именно этот класс решений описывает основные свойства заданной системы. Частное решение получают, подбирая вид последовательности на выходе при заданной входной последовательности . Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия. В качестве примера решим этим методом уравнение (2.19). Однородное уравнение имеет вид
(2.20)
Известно, что характеристическими решениями однородных уравнений, соответствующих линейным разностным уравнениям с постоянными коэффициентами, являются решения вида .Поэтому, подставив в уравнение (2.20) вместо , получим
(2.21)
Частное решение, соответствующее входной последовательности , попробуем найти в виде
(2.22)
Из уравнения (2.19) получаем
Поскольку коэффициенты при равных степенях должны совпадать, B,СиDдолжны быть равны
(2.24)
Таким образом, общее решение имеет вид
(2.25)
Коэффициент определяется из начального условия , откуда и
(2.26)
Выборочная проверка решения (2.26) при показывает полное его совпадение с приведенным выше прямым решением. Очевидное преимущество решения (2.26) состоит в том, что оно позволяет весьма просто определить для любого конкретного .
Фиг. 2.7. Схема реализации простого разностного уравнения первого порядка.
Важное значение разностных уравнений состоит в том, что они непосредственно определяют способ построения цифровой системы. Так, разностное уравнение первого порядка самого общего вида
можно реализовать с помощью схемы, изображенной на фиг. 2.7. Блок «задержка» осуществляет задержку на один отсчет. Рассмотренная форма построения системы, в которой для входной и выходной последовательностей используются раздельные элементы задержки, называется прямой формой 1. Ниже мы обсудим различные методы построения этой и других цифровых систем.
Разностное уравнение второго порядка самого общего вида
Фиг. 2.8. Схема реализации разностного уравнения второго порядка.
может быть реализовано с помощью схемы, приведенной на фиг. 2.8. В этой схеме для входной и выходной последовательностей также используются раздельные элементы задержки.
Из последующего изложения материалов этой главы станет ясно, что системы первого и второго порядка могут быть использованы при реализации систем более высокого порядка, так как последние могут быть представлены в виде последовательно или параллельно соединенных систем первого и второго порядка.
Р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м наз. уравнение вида
где - искомая и F -
заданная функции. Замена в (2) конечных разностей их выражениями через значения искомой функции согласно (1) приводит к уравнению вида
Если , т.
е. уравнение (3) действительно содержит как , так и , то уравне-вие (3) наз. р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м m-го п о р я д к а, или д и ф ф е р е н ц и а л ь н о-р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м.
(6)
где - произвольные постоянные.
3) Общее решение неоднородного Р. у. (4) представляется в виде суммы какого-либо частного его решения и общего решения однородного Р. у. (5).
Частное решение неоднородного уравнения (5) можно построить, исходя из общего решения (6) однородного уравнения, путем применения метода вариации произвольных постоянных (см., напр., ). В случае Р. у. с постоянными коэффициентами
можно непосредственно найти тлинейно независимых частных решений. Для этого рассматривается харак-теристич. уравнение
и ищутся его корни . Если все корни простые, то функции
образуют линейно независимую систему решений уравнения (7). В случае, когда - корень кратности r,
линейно независимыми являются решения
Если коэффициенты а 0 , a
1 , . . ., а т
действительные и уравнение (8) имеет комплексный корень, напр. простой корень , то вместо комплексных решений выделяют два линейно независимых действительных решения
Пусть имеется Р. у. 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами
(9) Характеристич. уравнение
имеет корни
Общее решение уравнения (9) в случае удобно записывать в виде
(10)
где с 1 и с 2 - произвольные постоянные. Если и - комплексно сопряженные корни:
то другое представление общего решения имеет вид
В случае кратного корня общее решение может быть получено предельным переходом из (10) или (11). Оно имеет вид
Как и в случае уравнений произвольного порядка, для Р. у. 2-го порядка можно рассматривать задачу Коши или различные краевые задачи. Напр., для задачи Коши
Введение
В последние десятилетия математические методы всё настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и её эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание государства. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования математики.
Целью данной работы является изучение применения разностных уравнений в экономической сфере общества.
Перед данной работой ставятся следующие задачи: определение понятия разностных уравнений; рассмотрение линейных разностных уравнений первого и второго порядка и их применение в экономике.
При работе над курсовым проектом были использованы доступные для изучения материалы учебных пособий по экономике, математическому анализу, работы ведущих экономистов и математиков, справочные издания, научные и аналитические статьи, опубликованные в Интернет - изданиях.
Разностные уравнения
§1. Основные понятия и примеры разностных уравнений
Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Разберем основные понятия разностных уравнений.
Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени t, t-1, t-2 и т.д.
Обозначим через значение в момент времени t; через - значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через - значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т.д.
Уравнение
где - постоянные, называется разностным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение
В котором =0, называется разностным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить разностное уравнение n-го порядка - значит найти функцию, которая обращает это уравнение в верное тождество.
Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением. Можно доказать следующие теоремы.
Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (2) имеет решения и, то решением будет также функция
где и - произвольные постоянные.
Теорема 2. Если - частное решение неоднородного разностного уравнения (1) и - общее решение однородного уравнения (2), то общим решением неоднородного уравнения (1) будет функция
Произвольные постоянные. Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных уравнений. Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется система вида
где - вектор из неизвестных функций, - вектор из известных функций.
Есть матрица размера nn.
Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.
§ 2. Решение разностных уравнений
Решение разностного уравнения первого порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
Соответствующее однородное уравнение есть
Проверим, будет ли функция
решением уравнения (3).
Подставляя в уравнение (4), получаем
Следовательно, есть решение уравнения (4).
Общее решение уравнения (4) есть функция
где C - произвольная постоянная.
Пусть - частное решение неоднородного уравнения (3). Тогда общее решение разностного уравнения (3) есть функция
Найдем частное решение разностного уравнения (3), если f(t)=c, где c - некоторая переменная.
Будем искать решение в виде постоянной m. Имеем
Подставив эти постоянные в уравнение
получаем
Следовательно, общее решение разностного уравнения
Пример1 . Найти с помощью разностного уравнения формулу прироста денежного вклада А в сбербанке, положенного под p % годовых.
Решение . Если некоторая сумма положена в банк под сложный процент p, то к концу года t её размер составит
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение
где C - некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям.
Если принять, то C=A, откуда
Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в сбербанк под сложный процент.
Решение разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка
и соответствующее однородное уравнение
Если k является корнем уравнения
есть решение однородного уравнения (6).
Действительно, подставляя в левую часть уравнения (6) и учитывая (7), получаем
Таким образом, если k - корень уравнения (7), то - решение уравнения (6). Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Если дискриминант характеристическое уравнение (7) больше нуля, то уравнение (7) имеет два разных действительных корня и, а общее решение однородного уравнения (6) имеет следующий вид.