Решение с6 егэ. Варианты решений заданий C6 ЕГЭ по математике. Решение заданий С6 по математике

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Задачи на теорию чисел. ЕГЭ задача №21 (С-6). Иванова Инна Владимировна Сунтар МБОУ «СПТЛ-и»

2 слайд

Описание слайда:

Демо-2015. Задание №21. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно - 3 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно - 8 . а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

3 слайд

Описание слайда:

Пусть среди написанных чисел k положительных, l нулей и m отрицательных. Тогда количество всех написанных чисел равно k + l + m. Демо-2015. Задание №21. Решение а). Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому: Сумма всех написанных чисел равна - 3(k + l + m) Сумма всех положительных чисел равна 4k. Сумма всех отрицательных чисел равна - 8т. Тогда получаем, что 4k – 8m + 0l = - 3(k + l + m), то есть 4(k – 2m) = -3(k + l + m) , а это значит, что количество всех чисел кратно 4. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел, но при этом их число кратно 4. 41 42 43 44 45 46 47 1 балл Вывод: этих чисел может быть только 44.

4 слайд

Описание слайда:

Пусть среди написанных чисел k положительных, l нулей и m отрицательных. Тогда количество всех написанных чисел равно k + l + m. Демо-2015. Задание №21. Решение б). Сумма всех написанных чисел равна - 3 ∙ (k + l + m) . Сумма всех положительных чисел равна 4k. Сумма всех отрицательных чисел равна - 8т. Нужно сравнить k и m . Для этого составим равенство 4k – 8m = - 3∙(k + l + m) , то есть 7k + 3l = 5m, из этого следует 7k ≤ 5m. Отсюда очевидно: k ≤ m. Вывод: отрицательных чисел больше. 1 балл

5 слайд

Описание слайда:

Пусть среди написанных чисел k положительных, l нулей и m отрицательных. Тогда количество всех написанных чисел равно k + l + m = 44. Демо-2015. Задание №21. Решение в). Сумма всех написанных чисел равна - 3 ∙ 44 = - 132 Сумма всех положительных чисел равна 4k. Сумма всех отрицательных чисел равна - 8т. Тогда получаем, что 4k – 8m = - 132, то есть k = 2m - 33, но при этом k + m ≤ 44. Отсюда получим: 3m ≤ 77. Значит, m ≤ 25. Но нас интересуют положительные числа, тогда снова используем равенство k = 2m - 33 ≤ 25∙2 – 33=17 Вывод: положительных чисел может быть не более 17. 1 балл

6 слайд

Описание слайда:

Мы ещё не ответили на вопрос задачи В), так как вывод: положительных чисел может быть не более 17, - это только оценка границ числа k . Демо-2015. Задание №21. Решение в). Необходимо подобрать соответствующий пример, в котором будет именно 17 положительных чисел, причём способ подбора этого примера не нужно записывать. Здесь нужен только подходящий ответ. Например, можно дать такой пример: На доске 17 раз записана четвёрка, 25 раз записано число - 8 и 2 раза записан нуль. Этот набор вполне соответствует условиям, но можно подобрать и какой-нибудь другой пример. Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17. 1 балл

7 слайд

Описание слайда:

Необходимая теория Числовые множества Делимость Чётность Деление с остатком Каноническое разложение Взаимно простые числа Последовательности: арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия Метод «Оценка плюс пример»

8 слайд

Описание слайда:

9 слайд

Описание слайда:

Необходимая теория Делимость Понятие делимости относится к целым числам. Определение: Число а делится на число в ≠ 0, если найдётся такое число с, что а = вс. Наболее важные признаки делимости: На 2 На 5 На 10 На 3 На 9. Последняя цифра есть 0, 2, 4, 6 или 8 Последняя цифра есть 0 или 5 Последняя цифра есть 0 Сумма цифр делится на 3 Сумма цифр делится на 9

10 слайд

Описание слайда:

Необходимая теория Чётность Наиболее важные свойства: Сумма любого числа чётных слагаемых чётна. Сумма чётного числа нечётных слагаемых чётна. Сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётна. Пусть имеется произведение нескольких множителей. Если все множители нечётны, то произведение нечётно. Если хотя бы один из множителей чётный, то произведение чётно.

11 слайд

Описание слайда:

Необходимая теория Деление с остатком Любое число а можно разделить с остатком на любое число b ≠ 0. То есть найдутся такие числа q и r (q – частное, r – остаток), такие, что a = bq + r, и при этом будет выполнено неравенство 0  r  b. Упражнение 1: Найдите частное и остаток от деления 7 на 2 15 на 4 2014 на 5 2015 на 13 9 на 8 8 на 9 Упражнение 3: Докажите, что число 1000…..0004 (между 1 и 4 стоит любое число нулей) не является квадратом целого числа.

12 слайд

Описание слайда:

Необходимая теория Каноническое разложение Всякое число делится на 1 и на само себя. Если число p не равно 1 и не имеет других натуральных делителей кроме 1 и p, то такое число p называется простым. Число, не равное 1 и не простое, называется составным

13 слайд

Описание слайда:

Необходимая теория Каноническое разложение Всякое число делится на 1 и на само себя. Если число p не равно 1 и не имеет других натуральных делителей кроме 1 и p, то такое число p называется простым. Число, не равное 1 и не простое, называется составным. Разложение на простые множители с точностью до порядка множителей является единственным (Основная теорема арифметики) и называется каноническим.

14 слайд

Описание слайда:

Необходимая теория Взаимно простые числа Определение: Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей кроме 1 Свойства взаимно простых чисел. Пусть а и в взаимно простые числа. Тогда: Если некоторое число делится на а и в, то оно делится и на их произведение ав. Если ап делится на в, то п делится на в. Упражнение: Какие цифры можно вставить вместо звёздочек в записи 35*4*, чтобы полученное число делилось на 45?

15 слайд

Описание слайда:

Необходимая теория Упражнение: Между числами 27 и 64 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

16 слайд

Описание слайда:

Необходимая теория Метод «Оценка плюс пример» «Оценка + пример» – это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений. Суть метода: Нужно найти наименьшее значение некоторой величины А. Действуем в два этапа: 1) Оценка. Показываем, что выполнено неравенство А. 2) Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство А = .

17 слайд

Описание слайда:

Метод «Оценка плюс пример» Пример 2 (средний): Натуральные числа от 1 до 10 разбили на 2 группы так, что произведение чисел в первой группе делится на произведение чисел во второй группе. Какое наименьшее значение может принимать частное от деления первого произведения на второе?

18 слайд

Описание слайда:

19 слайд

Описание слайда:

Задача №1. (ЕГЭ-2013 досрочный) Даны п различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, п ≥ 3. а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18? б) Каково наибольшее значение п, если сумма всех данных чисел меньше 800? в) Найти все возможные п, если сумма значений всех данных чисел равна 111.

20 слайд

Описание слайда:

Задача №2. (ЕГЭ-2013) Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписываются на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2; 3 и 5, то на доске будет набор 2; 3; 5; 5; 7; 8; 10. а) На доске выписан набор: -11; -7; -5; -4; -1; 2; 6. Какие числа были задуманы? б) Для некоторых задуманных различных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел было задумано? в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли можно по этому набору однозначно определить задуманные числа?

Ура, свершилось! 6 июня 2011 года прошел очередной ЕГЭ по математике. Уже третий по счету и второй в новой форме. Сбылись мои прогнозы: номера части «С» оказались более простыми, чем в пробниках, и еще проще тех номеров, которые были рекомендованы репетиторам по математике в различных печатных изданиях. Задача С6 не стала исключением. Однако, поиску ключика к ее решению, как и на С6 в прошлом году, мешала необычная формулировкой самого задания. Она оказалась уникальной не похожей ни на один из представленных образцов задачи С6 от МИОО и ФИПИ.

Задача С6 с ЕГЭ по математике от 6 июня 2011г

На доске написаны числа, количество которых больше чем 56, но меньше чем 72. Среднее арифметическое всех чисел равно – 5, среднее арифметическое положительных равно 8, а средннее арифметическое отрицательных — 16.
1) Сколько всего чисел выписано?
2) Каких чисел больше, отрицательных или положительных?
3) Какое максимальное число положительных чисел может быть выписано?

Я выбрал для публикации один из номеров, предлагавшихся в Москве. Другие известные мне варианты задачи С6 отличаются от него только числами.

Решение репетитора по математике

Ответим на вопрос №1:
пусть — положительные числа на доске(их m штук),
— отрицательные числа (их n штук)
И пусть k- количество нулей.
В соответствии с определением среднего арифметического несколькиъ чисел имеем следующие равенства:

Так правая часть последнего равенства делится на 8, то и левая должна делиться на 8, поэтому на 8 делится сумма . Учитывая, что получаем, что m+n+k=64, то есть выписано 64 числа.

Ответим на вопрос №2:

Раскрывая скобки в равенстве получаем . Если , то style="vertical-align:-30%" class="tex" alt="13m \geqslant 11n \Longrightarrow 13m-11n > 0 \Longrightarrow 13m-11n+5k>0">, что противоречит условию. Следовательно , то есть положительных чисел меньше.

Ответим на главный вопрос №3:

В начале заметим, что при любых натуральных значениях n и m можно найти наборы положительных и отрицательных чисел, обеспечивающих равенства и (для этого достаточно в положительный набор чисел включить m раз число 8, а в орицательный n раз число -16). Поэтому множество натуральных решений системы

охватывает все cлучаи написания чисел на доске.

Замечание репетитора по математике:
Нельзя забывать о случае про k=0, ибо никто не запрещает выписывать числа без нулей.

Итак, каждая натуральная тройка чисел (m,n,k) соответствует каким-то случаям записи чисел (один из них мы уже указали: «m раз берем число 8 и n раз число -16»). Поэтому, решив эту систему, мы ответим не только на 3-й вопрос задачи С6 на ЕГЭ, но и найдем
а) минимальное количество положительных чисел
б) минимальное и максимальное количество отрицательных чисел.
Хватит на сразу на два C6 номера:)

Наша цель: выразить переменные m и k через n. Для этого можно подставить число 64 вместо суммы переменных в первое уравнение и получить:

Затем сократим первое уравнение на 8 и выразим из него m через n (m=2n-40). Удаляя переменную m подстановкой полученного равенства во второе уравнение, приведем систему к окончательному виду:

Если не учитывать ограничения на переменные, то полученые формулы описывают множество всех решений системы (в том числе отрицательных, дробных и иррациональных), так как для каждого числа n можно вычислить пару (m,k) обеспечивающую вместе с ним верность каждого равенства. Однако, нам интересны только те значения n, при которых эта тройка окажется полностью натуральной.

Диапазон значений переменной n позволит найти диапазон значений переменных m и к и указать таким образом все варианты распределения положительных и отрицательных чисел. Жаль, что на ЕГЭ по математике нельзя получить дополнительные баллы за первыполнение плана по заданию.

Чтобы понять, какие натуральные значения n дают натуральные пары (m,k), изобразим графики линейных функций m=2n-40 и k=104-3n

Решение заданий С6 по математике

Условие:

Число p равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число p?

Решение:

Любое натуральное число N представимо в виде произведения
N = (p1^k1)*(p2^k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.

Например,
15 = (3^1)*(5^1)
72 = 8*9 = (2^3)*(3^2)

Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...

Итак, по условию, p = N1*N2*...*N11, где
N1 = (p1^k)*(p2^k)*...
N2 = (p1^k)*(p2^k)*...
...,
а это значит, что
p = (p1^(k+k+...+k))*(p2^(k+k+...+k))*...,

И общее количество натуральных делителей числа p равно

(k+k+...+k+1)*(k+k+...+k+1)*...

Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p^2, ... N11 = p^11.

То есть, например,
N1 = 2^1 = 2,
N2 = 2^2 = 4,
N3 = 2^3 = 8,
...
N11 = 2^11 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа p равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.

Ответ: 67

Задание C6

Условие:

Найдите все натуральные числа,
не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Решение:

Каждое натуральное число может быть либо четным (2*k), либо нечетным (2*k+1).

1. Если число нечетное:
n = 2*k+1 = (k)+(k+1). Числа k и k+1 всегда взаимно простые

(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x-y| тоже должно делиться на d. (k+1)-(k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство взаимной простоты)

То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2+1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.

2. Если число четное:
n = 2*k
Тут придется рассмотреть два случая:

2.1. k - четное, т.е. представимое в виде k = 2*m.
Тогда n = 4*m = (2*m+1)+(2*m-1).
Числа (2*m+1) и (2*m-1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2*m+1)-(2*m-1) = 2. 2 делится на 1 и 2.
Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2*m+1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.

Так мы доказали, что все числа вида 4*m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключение - число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1+3, но единица в качестве слагаемого нам по-прежнему не подходит.

2.1. k - нечетное, т.е. представимое в виде k = 2*m-1.
Тогда n = 2*(2*m-1) = 4*m-2 = (2*m-3)+(2*m+1)
Числа (2*m-3) и (2*m+1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2*m+1) - число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.

Так мы доказали, что все числа вида 4*m-2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключения - числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.

Ответ: 1,2,3,4,6

Часть 2 ЕГЭ по математике: