Симметрия и асимметрия. Симметрия и асимметрия лиц. О чем они нам расскажут

Симметрия ассоциируется с гармонией и порядком. И не зря. Потому что на вопрос, что такое симметрия, есть ответ в виде дословного перевода с древнегреческого. И получается, что она означает соразмерность и неизменность. А что может быть упорядоченней, чем строгое определение местоположения? И что можно назвать более гармоничным, чем то, что строго соответствует размерам?

Что означает симметрия в разных науках?

Биология. В ней важной составляющей симметрии является то, что животные и растения имеют закономерно расположенные части. Причем в этой науке не существует строгой симметрии. Всегда наблюдается некоторая асимметрия. Она допускает то, что части целого не совпадают с абсолютной точностью.

Химия. Молекулы вещества имеют определенную закономерность в расположении. Именно их симметрией объясняются многие свойства материалов в кристаллографии и других разделах химии.

Физика. Система тел и изменения в ней описываются с помощью уравнений. В них оказываются симметричные составляющие, что позволяет упростить все решение. Это выполняется благодаря поиску сохраняющихся величин.

Математика. Именно в ней в основном и дается разъяснение, что такое симметрия. Причем большее значение ей уделяется в геометрии. Здесь симметрия — это способность к отображению у фигур и тел. В узком смысле она сводится просто к зеркальному отображению.

Как определяют симметрию разные словари?

В какой бы из них мы ни заглянули, везде встретится слово «соразмерность». У Даля можно увидеть еще и такое толкование, как равномерие и равнообразие. Другими словами, симметричное - значит одинаковое. Здесь же говорится о том, что она скучна, интереснее смотрится то, в чем ее нет.

На вопрос, что такое симметрия, словарь Ожегова уже говорит об одинаковости в положении частей относительно точки, прямой или плоскости.

В словаре Ушакова упоминается еще и пропорциональность, а также полное соответствие двух частей целого друг другу.

Когда говорят об асимметрии?

Приставка «а» отрицает смысл основного существительного. Поэтому асимметрия означает то, что расположение элементов не поддается определенной закономерности. В ней отсутствует всякая неизменность.

Этот термин используется в ситуациях, когда две половины предмета не являются полностью совпадающими. Чаще всего они совсем не похожи.

В живой природе асимметрия играет важную роль. Причем она может быть как полезной, так и вредной. К примеру, сердце помещается в левую половину груди. За счет этого левое легкое существенно меньшего размера. Но это необходимо.

О центральной и осевой симметрии

В математике выделяют такие ее виды:

• центральная, то есть выполненная относительно одной точки;
• осевая, которая наблюдается около прямой;
• зеркальная, она основывается на отражениях;
• симметрия переноса.

Что такое ось и центр симметрии? Это точка или прямая, относительно которой любой точке тела найдется другая. Причем такая, чтобы расстояние от исходной до получившейся делилось пополам осью или центром симметрии. Во время движения этих точек они описывают одинаковые траектории.

Понять, что такое симметрия относительно оси, проще всего на примере. Тетрадный лист нужно сложить пополам. Линия сгиба и будет осью симметрии. Если провести к ней перпендикулярную прямую, то все точки на ней будут иметь лежащие на таком же расстоянии по другую сторону оси точки.

В ситуациях, когда необходимо найти центр симметрии, нужно поступать следующим образом. Если фигур две, то найти у них одинаковые точки и соединить их отрезком. Потом разделить пополам. Когда фигура одна, то помочь может знание ее свойств. Часто этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей или высот.

Какие фигуры являются симметричными?

Геометрические фигуры могут обладать осевой или центральной симметрией. Но это не обязательное условие, существует множество объектов, которые не обладают ею вовсе. К примеру, параллелограмм обладает центральной, но у него нет осевой. А неравнобедренные трапеции и треугольники не имеют симметрии совсем.

Если рассматривается центральная симметрия, фигур, обладающих ею, оказывается довольно много. Это отрезок и круг, параллелограмм и все правильные многоугольники с числом сторон, которое делится на два.

Центром симметрии отрезка (также круга) является его центр, а у параллелограмма он совпадает с пересечением диагоналей. В то время как у правильных многоугольников эта точка тоже совпадает с центром фигуры.

Если в фигуре можно провести прямую, вдоль которой ее можно сложить, и две половинки совпадут, то она (прямая) будет являться осью симметрии. Интересно то, сколько осей симметрии имеют разные фигуры.

К примеру, острый или тупой угол имеет только одну ось, которой является его биссектриса.

Если нужно найти ось в равнобедренном треугольнике, то нужно провести высоту к его основанию. Линия и будет осью симметрии. И всего одной. А в равностороннем их будет сразу три. К тому же, треугольник обладает еще и центральной симметрией относительно точки пересечения высот.

У круга может быть бесконечное число осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через его центр, может исполнить эту роль.

Прямоугольник и ромб обладают двумя осями симметрии. У первого они проходят через середины сторон, а у второго совпадают с диагоналями.

Квадрат же объединяет предыдущие две фигуры и имеет сразу 4 оси симметрии. Они у него такие же, как у ромба и прямоугольника.

В последние годы у нас значительно повысился интерес к изучению симметрии. Однако обычно понятия симметрии и ин­формации рассматриваются в отрыве друг от друга. Здесь мы попытаемся обратить внимание на объективную основу их взаи­мосвязи.

Представляется, что изучение этой взаимосвязи позво­лит глубже познать природу информации и симметрии, будет со­действовать дальнейшему развитию и взаимопроникновению методов их исследования.

Правильный ответ на вопрос о том, что такое симметрия, лежит на пути анализа становления понятия симметрии в науке . Этот логико-гносеологический анализ позволяет выявить те об­щие тенденции, которые связаны с развитием данного понятия, вычленить наиболее существенные его признаки.

Развитие понятий симметрии и асимметрии неразрывно свя­зано с понятиями однородности и неоднородности, изотропности и анизотропности, равномерности и неравномерности, однообра­зия и разнообразия, порядка и беспорядка, покоя и движения, со­хранения и изменения, равенства и неравенства и т. д. Г. В. Вульф отмечает, что «симметрия состоит прежде всего в однообразии частей фигур и в однообразном расположении этих частей в фи­гуре. Это однообразие мы обнаруживаем, перемещая в простран­стве часть симметричной фигуры и замечая, что при одинаковых перемещениях эта часть периодически совпадает с другими такими же частями фигуры» . О повторении однообразия, как характерной черте симметрии, говорят также К. Л. Вольф и Р. Вольф . В. С. Готт увязывает понятие симметрии с поряд­ком, пропорциональностью, соразмерностью, равновесием, ус­тойчивостью, Н. П. Депенчук - с однородностью, В. И. Сви- дерский - с равномерностью и т. д.

А. В. Шубников в ряде работ понятие симметрии развивает

на основе понятия равенства ****** .

Наиболее простым является равенство совместимое (кон­груэнтность). Смысл совместимого равенства легко понять, если рассмотреть зеркальное отображение шара. Шар, отраженный в зеркало, не отличим от своего оригинала - отображение и ориги­нал можно мысленно совместить.

Однако зеркальное отображение ряда предметов можно от­личить от оригинала. Например, если мы будем двигать правой рукой, то наше изображение в зеркале будет двигать левой рукой. В этом случае можно говорить о равенстве зеркальном (зеркаль­ности).

Исторически понятие симметрии возникло на основе ра­венства зеркального. Затем появилось уже синтетическое, родо­вое понятие равенства, включающее в себя свойства зеркально - сти и совместимости.

В геометрии оно основано на метрическом равенстве: фи­гуры считаются равными, если расстояние между произвольны­ми точками одной фигуры равны расстояниям между соответст­вующими точками другой фигуры.

Синтетическое понятие равенства, являясь единством упо­мянутых противоположностей (совместимости и зеркальности), носит двойственный характер. И эта двойственность понятия ра­венства в учении о симметрии, отмечает А. В. Шубников, вполне оправдана опытом.

Дальнейшее развитие понятия симметрии связано с вклю­чением и других видов равенств. Так, А. В. Шубников и другие ученые добавляют еще два вида равенства: антиравенство со­вместимое и антиравенство зеркальное . В результате учение симметрии стало базироваться на еще более общем понятии равенства, объем которого увеличился, а содержание сущест­венно изменилось. Представления о симметрии все больше проникают в различные науки - физику, химию, биологию, причем они не обязательно связаны с геометрическими свойст­вами объектов.

Современная наука имеет дело с равенством, сохранением объектов, их свойств, связей, отношений, функций, законов и т. д. И в каждом таком случае могут рассматриваться специ­альные случаи симметрии, соответствующие определенным равенствам.

Важно подчеркнуть, что эволюция понятий симметрии в определенном отношении основана на расширении понятия ра­венства как в геометрическом, так и в других аспектах. Можно поэтому предположить, что наиболее общее понятие симметрии связано и с наиболее общим, абстрактным понятием равенства, т. е. с тождеством как философской категорией.

Наличие некоторого тождества, инварианта есть необходи­мое, но еще не достаточное условие симметрии. Тождество лишь тогда выступает в роли симметрии, когда оно неотделимо от со­ответствующих преобразований, сохраняющих данное тождест­во. Например, чтобы доказать, что круг симметричен относи­тельно линии, лежащей в плоскости круга и проходящей через его центр, необходимо мысленно совместить одну половину кру­га с другой. Совмещение и есть определенное изменение, в ре­зультате которого сохраняется тождество (равенство двух поло­винок круга). Именно тот или иной тип изменения (вращение, сдвиг и т. д.), в результате которого появляются инварианты, то­ждества, и определяет так называемую группу симметрии (если пользоваться принятыми теоретико-групповыми понятиями). Можно предполагать, что различным видам инвариантов, тож­деств, по-видимому, взаимнооднозначно соответствуют опреде­ленные изменения, в частности группы преобразований, опреде­ляющих операцию симметрии.

Без того или иного преобразования симметрии не сущест­вует. На это вполне определенно указывали исследователи сим­метрии Г. В. Вульф, А В. Шубников, Ю. А. Урманцев и др. уче­ные. Причем в случае наиболее общего, философского понима­ния симметрии преобразование можно рассматривать как изме­нение вообще.

Полная совокупность нетождественных между собой опе­раций симметрии образует группу. Неэквивалентные, нетожде­ственные операции называются элементами группы, или элемен­тами симметрии. Нет таких объектов, которые бы не обладали ни одним элементом симметрии, так как любые объекты (или их части) всегда могут быть тождественными в отношении некото­рых изменений (например, при всех своих изменениях объект генетически тождествен самому себе).

Любое конкретное тождество, связанное с симметрией, не­обходимо дополняется изменением, движением, а значит, и раз­личием. Связь симметрии с различием выступает в двух аспек­тах: во-первых, любой инвариант (тождество) внутри себя со­держит неинвариантные, различные компоненты и, во-вторых, любой инвариант (внешне) связан с соответствующим преобра­зованием, изменением.

Из вышеизложенного вытекает связь тождества и различия как существенных и самых общих признаков, входящих в содер­жание понятия симметрии. Это позволяет дать общее определе­ние этому понятию на базе понятий тождества и различия. Сим­метрия - это категория, обозначающая процесс существования и становления тождественных моментов (в определенных услови­ях и в определенных отношениях) между различными и проти­воположными состояниями явлений мира . Понятие симметрии на основе единства тождества и различия, сохранения и измене­ния развивается и в монографии Н. Ф. Овчинникова «Принципы сохранения».

Однако Ю. А. Урманцев в рецензии на книгу Н. Ф. Овчин­никова обратил внимание на то, что в этом случае остается не­выясненным, чем же симметрия отличается от единства сохра­нения и изменения (тождества и различия), т. е. не указывается видовое отличие симметрии от сохранения и изменения. Ю. А. Урманцев дает иное общее определение симметрии. Сим­метрия - это особого рода инвариантности (виды сохранения) относительно соответствующих групп преобразований (реаль­ных и/или мыслимых изменений, обладающих теоретико­групповыми свойствами) .

В этом определении в качестве видового признака симмет­рии выделяются теоретико-групповые свойства. Действительно, теоретико-групповые свойства являются, с одной стороны, весь­ма общими, а с другой стороны, достаточно частными, чтобы выделить симметрию из всех других видов единства тождества и различия. Однако возникает вопрос: все ли свойства симметрии определяются теоретико-групповыми свойствами? И всегда ли симметрия будет использовать лишь один математический аппа­рат - теорию групп?

Нам представляется, что свойств симметрии бесконечно много: симметрия так же неисчерпаема, как и электрон, и ин­формация, и т. п., как любой объект и как любое свойство дви­жущейся материи. Поэтому выявленные в настоящее время теоретико-групповые свойства симметрии вряд ли являются самыми общими видовыми признаками симметрии. Эти свой­ства характеризуют лишь наиболее распространенное совре­менное понимание симметрии, и, надо полагать, в дальнейшем человеческое познание обнаружит еще более общие свойства симметрии, нежели те, которые изучаются теорией групп. По­этому, учитывая дальнейшую возможную эволюцию понятия симметрии, нужно признать, что границы между понятием симметрии и единством тождества и различия оказываются в общем не столь уж определенными. Эти границы достаточно четки, если мы имеем дело с данной математической теорией симметрии (теорией групп), а само понятие симметрии рас­сматриваем как «застывшее» в этой теории. Но эти границы уже неопределенны, если рассматривать возможную эволюцию понятия симметрии, если заранее не исключать того, что уче­ние о симметрии будет использовать не только теорию групп, но и другой математический аппарат. Ситуация здесь напоми­нает положение с теорией информации. Подобно тому как по­следняя не может использовать только теорию вероятностей, так и учение о симметрии не будет ограничиваться лишь тео­рией групп.

A. Д. Урсул. Природа информации

Из сказанного вытекает, что приведенные определения

B. С. Готта, А. Ф. Перетурина и близкое к нему определение Н. Ф. Овчинникова, будучи достаточно широкими, позволяют понятию симметрии выйти и за обычные, теоретико-групповые, рамки, схватывают важные свойства симметрии. Подобное ши­рокое определение симметрии методологически эффективно, по­скольку, как мы покажем дальше, в этом случае можно получить некоторые новые результаты.

Но прежде всего несколько слов о категории, которая яв­ляется полярной категории симметрии, т е. об асимметрии. Под асимметричными объектами можно было бы понимать объек­ты, в которых полностью отсутствовали бы элементы симмет­рии. Однако в действительности, как мы отмечали выше, по­добных объектов не существует, так как всегда обнаруживается

такой элемент симметрии, как единичный элемент группы. В наличии единичного элемента группы отражается тот простой факт, что объект как таковой существует, что он тождествен самому себе. Как бы ни были различны объекты, всегда между ними обнаружится тождество (относительное равенство).

Под полностью асимметричным можно подразумевать объ­ект с бесконечным числом асимметризующих признаков. Но любой конечный объект на данном уровне не является беско­нечно асимметричным, а представляет собой или объект с мак­симальной симметрией, или объект с минимальной симметрией (или нечто промежуточное между ними). Именно минимальная симметрия и есть реально существующая асимметрия конечных объектов.

Объекты, которые не являются максимально симметричны­ми или минимально симметричными (асимметричными), будем называть диссимметричными. Таким образом, симметрия и асимметрия есть частные случаи (абстракции) диссимметрии. В самом деле, в мире не существует раздельно ни абсолютно сим­метричных, ни абсолютно асимметричных объектов. Следова-

тельно, в любом объекте всегда существует единство симметрии и асимметрии, т. е. диссимметрия.

По аналогии с элементами симметрии можно говорить и об элементах диссимметрии .

Взаимосвязь понятий симметрии и информации становит­ся очевидной, если сравнить их наиболее широкие определения. Предельное определение симметрии основано на связи с кате­гориями тождества и различия, понятие информации также оп­ределялось нами именно на основе этих же категорий. В из­вестном смысле категории симметрии и информации противо­положны. Ведь увеличение в объекте симметризующих призна­ков должно вести к уменьшению количества информации. И на­оборот, уменьшение в объекте числа элементов симметрии все­гда должно быть связано с увеличением количества структур­ной информации.

При этом необходимо сделать оговорку, что изменение чис­ла элементов симметрии и количества информации должно рас­сматриваться в одном и том же отношении. Если этого не учиты­вать, то легко прийти к противоположному выводу. Как ранее было отмечено, тождество, сохранение симметрии в одном от­ношении связано с различием, изменением в другом отношении, поэтому увеличение тождества (в плане инвариантности) сопро­вождается увеличением различий (скажем, изменений, обла­дающих теоретико-групповыми свойствами).

Рассмотрим подробнее различные области действительно - сти, в которых можно проследить взаимосвязь симметрии и ин­формации.

Известно, что в области неживой природы происходят как процессы симметризации и асимметризации (а лучше сказать, диссимметризации), так и изменение количества связанной в структуре косных систем информации. Нами уже отмечалось, что увеличение структурной информации неживых объектов вы­текает из действия термодинамических закономерностей (при этом рассматривались лишь открытые системы). Число спосо­бов, которыми можно осуществить распределение молекул по объему, связано с термодинамической вероятностью, причем наиболее вероятное распределение молекул - равномерное. Это состояние характеризуется максимальной энтропией (минималь­ным количеством структурной информации). Переход от нерав­номерного распределения к равномерному означает уменьшение различий в определенных аспектах, а значит, и увеличение сим­метрии именно в этих же отношениях.

Рассмотрим теперь процесс кристаллизации, происходящий под действием внесенных в жидкость кристаллов или при воз­никновении центров кристаллизации в соответствующих услови­ях. Кристаллизация характеризуется диссимметризацией жидко­сти, если возникающий кристалл по сравнению с жидкостью об­ладает меньшим количеством элементов симметрии. Сам тип диссимметризации существенно зависит от внешних условий (от температуры, давления, силы тяжести и т. д.). Например, для од­ного и того же вещества - углерода в зависимости от условий возможны различные типы симметрии кристаллов. Но переход от жидкости к кристаллу связан с увеличением информационного содержания системы . Следовательно, в данном случае процессы диссимметризации и увеличения количества информации отра­жают взаимосвязанные стороны процесса кристаллизации.

В живой природе прогрессивная эволюция также связана с накоплением информации, если рассматривать ее с точки зрения изменения внутреннего разнообразия. Этот процесс в данном отношении может быть охарактеризован и как имеющий тенден­цию к асимметризации . Ив области биологических явлений связь симметрии и информации имеет свою основу в изменении степени тождества и различия.

Взаимосвязь симметрии и информации начинает изучаться и в науках об обществе. Так, в настоящее время учение о сим­метрии и асимметрии используется в психологии и педагогике . Как известно, в этих науках применяются теоретико-информа­ционные методы. Например, в психологии изучается «пропуск­ная способность» зрения, слуха, вкуса (проводятся опыты с раз­личением интенсивности тонов, яркости, оттенков, концентра­ции растворов, цветов зрительных раздражителей и т. д.), «про­пускная способность» и принципы переработки информации мозгом, процессы восприятия образов, хранение информации в памяти и т. д. По-видимому, именно в психологии появились первые работы, в которых сознательно использовалась связь симметрии и информации. Упомянутая связь служила исходным пунктом для изучения памяти известным американским психо­логом Ф. Эттнивом (исследовались представления о предметах в различной степени симметричных). Как отмечает Ф. Эттнив, «эффекты симметрии ассоциировались с уменьшением количе - ства информации» .

К сожалению, проблема симметрии в науках об обществе исследуется еще недостаточно. Однако это не может служить основанием для вывода о том, что в обществе нет явлений сим­метрии и асимметрии. В ряде работ по симметрии приводится достаточно примеров использования явлений симметрии и асимметрии в технике, архитектуре, прикладном искусстве

(бордюры, ленты, орнаменты и т. п.) и других сферах человече-

ской деятельности.

Рассмотрим кратко проблему связи симметрии и информа­ции в познании. Принцип симметрии (и его частный случай - принцип инвариантности как симметрии законов) - необходимое условие процесса познания физических явлений. Например, за­коны классической механики связаны с симметрией относитель­но преобразований Галилея, законы релятивистской механики - с симметрией относительно преобразований Лоренца и т. д. Принцип симметрии, по-видимому, является необходимым со­ставляющим всякого познания, хотя и не во всех науках он полу­чил математическое выражение.

В философском отношении важно выявить именно всеобщ­ность принципа симметрии (а если говорить точнее, - принципа диссимметрии) как принципа познания и предсказать тем самым его появление в тех науках, где он в явном, осознанном виде еще не используется. В плане доказательства этого положения заме­тим, что в определенном отношении познание есть выявление законов исследуемых явлений. Но любой закон есть некоторое конкретное тождество в различном. Выделение законов в явле­ниях, тождественного в различном, общего в единичных объек­тах и т. п. есть в определенном аспекте также выявление сим­метричного в диссимметричном.

Вместе с тем этот же процесс есть процесс диссимметри- зации, если рассматривать отношение новых законов, более содержательных, к старым, менее содержательным. Естествен­но, что данное уже познанное единство тождества и различия не учитывает, не выявляет всего разнообразия, различия явлений, а потому в процессе познания заменяется более глубоким един­ством тождества и различия, т. е. тождеством, включающим в себе все новые и новые различия. Стремление выразить в фор­мах научного познания бесконечное различие явлений приводит к процессу диссимметризации, к разработке более совершен­ных теорий, к формулированию качественно новых законов. И хотя самое выражение законов связано с симметрией, во все более общих теориях происходит увеличение элементов дис- симметрии.

Появление, например, новых типов симметрии в физике связано с выявлением диссимметрии во внутренней структуре элементарных объектов .

Благодаря выявлению элементов диссимметрии (и выпа­дению элементов симметрии) в теоретических моделях реаль­ных объектов наше познание действительности становит­ся глубже, полнее, адекватнее. Полностью адекватное отраже­ние должно было бы охватить все реальное разнообразие, которое во всех отношениях бесконечно. Процесс познания связан со стремлением к этому абсолюту - бесконечному раз­нообразию.

Таким образом, можно сделать вывод, что в процессе по­знания действуют одновременно две противоположные, соот­носительные тенденции - симметризация и дисеимметризация.

Любой закон, выявленный в процессе познания, есть отра­жение разнообразия и в то же время его ограничение. Он ограни­чивает разнообразие в том смысле, что показывает, какие возмож­ности разрешены, а какие запрещены. Так, из релятивистской ме­ханики известно, что возможны не все скорости, а лишь скорости, не превышающие скорость света, что существуют ограничения

взаимосвязи между массой и энергией, и т. д. В гносеологическом аспекте ограничение разнообразия сказывается в выделении из бесконечного разнообразия лишь некоторого его количества. Дру­гими словами, субъект в процессе познания воспринимает не все разнообразие, а лишь часть его, так как приходится ограничивать­ся конечными пространственно-временными параметрами, лишь определенными связями объекта со средой и т. д.

Подобное ограничение разнообразия соответствует сим­метризации в процессе познания, поскольку из явления выделя­ется нечто относительно тождественное, т. е. закон. Вместе с тем переход в процессе познания от законов низшего порядка к все более адекватным законам (диссимметризация) означает расши­рение разнообразия. А это есть не что иное, как накопление (рост количества) информации.

Анализируя понятия симметрии и асимметрии, можно сде­лать вывод, что они отражают всеобщие свойства материи и, сле­довательно, постепенно становятся философскими категориями (В. С. Готт, Ю. А. Урманцев, Н. Ф. Овчинников, А. Г. Спиркин и др.). Наряду с этим высказываются возражения против этой точки зрения. Так, В. И. Свидерский полагает, что возведение понятий симметрии и асимметрии в ранг философских катего­рий неоправданно, так как не доказана их применимость, в ча­стности, в сфере общественных явлений. Это не совсем так. Во-первых, понятия симметрии и асимметрии, как отмечалось, уже начинают использоваться и при изучении общественных явлений. Во-вторых, применимость понятий симметрии и асимметрии на общественной ступени развития следует и из весьма общих установленных выше положений. Ведь тождест­во и различие, на которых основано самое общее понятие сим­метрии, имеют место и в сфере общественных явлений.

В. И. Свидерский отмечает, что свойства симметрии связаны с однородностью, одинаковостью, а асимметрии - с неоднород-

ностью, неодинаковостью. Но однородность, одинаковость, как и их противоположности, также присущи общественным явлениям.

Теория информации уже внедряется в общественные нау­ки - психологию, лингвистику, экономику, юриспруденцию, пе­дагогику и т. д. Следовательно, здесь может быть применено и учение о симметрии. Объективная причина слабого использова­ния понятия симметрии (и асимметрии) и связанного с ними ма­тематического аппарата в общественных науках сопряжена, как нам думается, с еще слабым применением в них математики (по­скольку общественные явления сложнее биологических, а тем более химических и физических).

Поскольку симметрия, асимметрия и информация являют­ся определенными сторонами тождества и различия, а послед­ние неразрывно связаны, можно говорить и о взаимосвязи, взаимопроникновении симметрии, асимметрии и информации. Представляется, что эта взаимосвязь и взаимопроникновение есть одна из сторон единства всеобщих свойств материи (атри­бутов) .

Связь информации и симметрии (асимметрии) приводит к выводу о том, что явления симметризации, диссимметризации и процессы изменения количества информации в различных областях действительности, возможно, имеют одинаковые спе­цифические особенности. Мы уже упоминали о предполагае­мых отличиях информационных процессов в неживой и живой природе и общественных явлениях. В настоящее время иссле­дуется, в частности, реальное отличие проявлений симметрии и асимметрии в мире элементарных частиц, кристаллов и жи­вого вещества. Например, уже выявлена специфика типов сим­метрии живого вещества, что привело даже к возникновению особой науки - биосимметрики (Ю. А. Урманцев и др.). Можно ожидать, что выявление особенностей проявлений симметрии должно указывать на специфику информационных закономер­ностей, и наоборот. Сказанное, конечно, не означает, что не существует общих закономерностей проявления симметрии (асимметрии) и информационных процессов во всех областях действительности.

Взаимосвязь и взаимопроникновение симметрии (асиммет­рии) и информации делают возможным использование общих методов их исследования. Сейчас наиболее распространенным математическим методом исследования симметрии является тео­рия групп. Однако уже в рамках развития теории диссимметрии был сделан вывод о том, что «теория групп... не может полно­стью отразить характер днссимметрии материальных объектов и особенно асимметрических» . Возникла проблема исследования диссимметрии более точными математическими методами. Ю. А. Урманцевым был предложен метод, основанный на ис­пользовании теории конечных множеств (комбинаторики). Это свидетельствует о возможности конкретного использования и методов теории информации, в частности комбинаторного подхода. Более общие соображения, изложенные в этом пара­графе, свидетельствуют о возможности внедрения и статисти­ческой теории информации, и невероятностных подходов к изучению диссимметрии (симметрии и асимметрии). Можно также ожидать и еще более широкого использования методов теории групп в теории информации, и в особенности в теории кодирования.

В заключение остановимся на понятии симметрии в опре­делении понятия вероятности. В первой главе уже упомина­лось о классическом подходе к определению понятия вероят­ности. Считается, что, устанавливая число равновозможных (равновероятных) событий, исходят из соображений сим­метрии, скажем, симметрии двух сторон монеты, симметрии грани куба и т. д. Симметрия в этом случае выступает как не­что первичное по отношению к вероятности, как нечто вполне очевидное, интуитивно данное. Когда речь идет о симметрии монеты, игральной кости и т. д., то можно, конечно, иметь в виду, что стороны монеты, грани кости не отличаются друг от друга и могут быть совмещены друг с другом в результате оп­ределенных преобразований. Но они тождественны лишь в не­котором отношении, в других же отношениях они различны (например, всегда различно их пространственное положение). Поэтому, несмотря на конкретное тождество, мы все же можем отличить одну сторону монеты от другой, одну грань играль­ной кости от другой. Определяя далее вероятность выпадения определенной грани (стороны монеты) мы обращаем внимание уже на количество этих граней, сторон, то есть опять-таки на их разнообразие.

Однако это разнообразие не рассматривается как разнооб­разие преобразований, соответствующих данному типу симмет­рии. Если бы здесь были важны преобразования, то применялась бы теория групп для определения вероятности. В действитель­ности же вероятности определяются не из теоретико-групповых соображений, а из соображений теории конечных множеств (комбинаторики). Следовательно, хотя в теории вероятностей ис­ходят из соображений симметрии, но они не являются жестко привязанными к теории групп.

Понятие симметрии может быть использовано, конечно, для рассмотрения не только классического, но и статистическо­го подхода к определению понятия вероятности. Подобно тому как в физике нарушение данного типа симметрии обычно ведет к поиску других, более общих групп симметрии, и в теории ве­роятностей нарушение условий симметрии классического под­хода привело к возникновению нового - частотного (статисти­ческого) подхода. Здесь имеется в виду нарушение симметрии, выражающей равновозможность (равновероятность) событий, в результате, например, действия возмущений в процессе ис­пытаний, неравномерного распределения материала игральной кости и т. д.

Рассмотренный пример связи симметрии и вероятности еще раз подтверждает взаимосвязь свойств симметрии и ин­формации, вытекающую из взаимоотношения тождества и раз­личия, и показывает возможность применения теоретико­вероятностных и теоретико-информационных методов в уче­нии о симметрии.

Сбалансированная композиция кажется правильной. Она смотрится устойчиво и эстетически привлекательно. Хотя какие-то из ее элементов могут особенно выделяться, являясь фокальными точками — ни одна часть не притягивает взгляд настолько, чтобы подавлять остальные. Все элементы сочетаются друг с другом, плавно соединяясь между собой и образуя единое целое.

Несбалансированная композиция вызывает напряжение. Когда дизайн дисгармоничен, отдельные его элементы доминируют над целым, и композиция становится меньше, чем сумма ее частей. Иногда подобная дисгармония может иметь смысл, но чаще всего баланс, упорядоченность и ритм — это лучшее решение.

Несложно понять, что такое баланс с точки зрения физики — мы ощущаем его постоянно: если что-то не сбалансировано, оно неустойчиво. Наверняка в детстве вы качались на качелях-доске — вы на одном конце, ваш друг — на другом. Если вы весили примерно одинаково, вам было легко на них балансировать.

Нижеследующая картинка иллюстрирует баланс: два человека одинакового веса находятся на равном расстоянии от точки опоры, на которой балансируют качели.

Качели в симметричном равновесии

Человек на правом конце доски раскачивает ее по часовой стрелке, а человек на левом — против. Они прикладывают одинаковую силу в противоположных направлениях, так что сумма равна нулю.

Но если бы один человек был намного тяжелее, равновесие бы исчезло.

Отсутствие равновесия

Эта картинка кажется неправильной, потому что мы знаем, что фигура слева слишком мала, чтобы уравновесить фигуру справа, и правый конец доски должен касаться земли.

Но если передвинуть более крупную фигуру в центр доски, картинка приобретет более правдоподобный вид:

Качели в асимметричном равновесии

Вес более крупной фигуры нивелируется тем, что она расположена ближе к точке опоры, на которой балансируют качели. Если вы когда-нибудь качались на таких качелях или, по крайней мере, видели, как это делают другие, то понимаете, что происходит.

Композиционное равновесие в дизайне основано на тех же принципах. Физическая масса заменяется визуальной, и направление, в котором на нее действует сила притяжения, заменяется визуальным направлением:

1. Визуальная масса — это воспринимаемая масса визуального элемента, мера того, насколько данный элемент страницы привлекает внимание.

2. Визуальное направление — это воспринимаемое направление визуальной силы, в котором, как нам кажется, двигался бы объект, если бы он мог двигаться под влиянием физических сил, действующих на него.

Для измерения этих сил нет инструментов и для расчета зрительного баланса нет формул: чтобы определить, сбалансирована ли композиция, вы ориентируетесь только на свои глаза.

Почему визуальное равновесие важно?

Визуальное равновесие так же значимо, как и физическое: несбалансированная композиция вызывает у зрителя дискомфорт. Посмотрите на вторую иллюстрацию с качелями: она кажется неправильной, потому что мы знаем, что качели должны касаться земли.

С точки зрения маркетинга, визуальная масса — это мера визуального интереса, который вызывает какая-либо область или элемент страницы. Когда лендинг визуально сбалансирован, каждая его часть вызывает некоторый интерес, а сбалансированный дизайн удерживает внимание зрителя.

При отсутствии визуального равновесия посетитель может не увидеть некоторые элементы дизайна — скорее всего, он не станет рассматривать области, уступающие другим по визуальному интересу, так что информация, связанная с ними, останется незамеченной.

Если вы хотите, чтобы пользователи узнали все, что вы намерены им сообщить — подумайте о разработке сбалансированного дизайна.

Четыре типа равновесия

Есть несколько способов добиться композиционного равновесия. Картинки из раздела выше иллюстрируют два из них: первая — пример симметричного баланса, а вторая — асимметричного. Два других типа — радиальный и мозаичный.

Симметричное равновесие достигается, когда объекты, равные по визуальной массе, размещаются на равном расстоянии от точки опоры или оси в центре. Симметричное равновесие вызывает ощущение формальности (поэтому иногда оно называется формальным равновесием) и элегантности. Приглашение на свадьбу — пример композиции, которую вы, скорее всего, захотите сделать симметричной.

Недостаток симметричного равновесия в том, что оно статично и иногда кажется скучным: если половина композиции — это зеркальное отражение другой половины, то как минимум одна половина будет достаточно предсказуема.

2. Асимметричное равновесие

Асимметричное равновесие достигается, когда объекты по разные стороны от центра имеют одинаковую визуальную массу. При этом на одной половине может находиться доминирующий элемент, уравновешенный несколькими менее важными фокальными точками на другой половине. Так, визуально тяжелый элемент (красный круг) на одной стороне уравновешен рядом более легких элементов на другой (синие полосы).

Асимметричное равновесие более динамично и интересно. Оно вызывает ощущение современности, движения, жизни и энергии. Асимметричного равновесия сложнее достичь, потому что отношения между элементами более сложны, но, с другой стороны, оно оставляет больше простора для творчества.

Радиальное равновесие достигается, когда элементы расходятся лучами из общего центра. Лучи солнца или круги на воде после того, как в нее упал камень — это примеры радиального равновесия. Удерживать фокальную точку (точка опоры) легко, поскольку она всегда в центре.

Лучи расходятся из центра и ведут к нему же, делая его самой заметной частью композиции.

Мозаичное равновесие (или кристаллографический баланс) — это сбалансированный хаос, как на картинах Джексона Поллока. У такой композиции нет выраженных фокальных точек, и все элементы одинаково важны. Отсутствие иерархии, на первый взгляд, создает визуальный шум, но, тем не менее, каким-то образом все элементы сочетаются и образуют единое целое.

Симметрия и асимметрия

И симметрия, и асимметрия может применяться в композиции вне зависимости от того, каков тип ее равновесия: вы можете использовать объекты симметричной формы для создания асимметричной композиции, и наоборот.

Симметрия, как правило, считается красивой и гармоничной. Впрочем, она также может показаться статичной и скучной. Асимметрия обычно представляется более интересной и динамичной, хотя и не всегда красивой.

Симметрия

Зеркальная симметрия (или двусторонняя симметрия) возникает, когда две половины композиции, расположенные по разные стороны от центральной оси, являются зеркальными отражениями друг друга. Скорее всего, услышав слово «симметрия», вы представляете себе именно это.

Направление и ориентация оси могут быть какими угодно, хотя зачастую она или вертикальная, или горизонтальная. Многие естественные формы, растущие или движущиеся параллельно поверхности земли, отличаются зеркальной симметрией. Ее примеры — крылья бабочки и человеческие лица.

Если две половины композиции отражают друг друга абсолютно точно, такая симметрия называется чистой. В большинстве случаев отражения не полностью идентичны, и половины немного отличаются друг от друга. Это неполная симметрия — в жизни она встречается гораздо чаще, чем чистая симметрия.

Круговая симметрия (или радиальная симметрия) возникает, когда объекты располагаются вокруг общего центра. Их количество и угол, под которым они расположены относительно центра, могут быть любыми — симметрия сохраняется, пока присутствует общий центр. Естественные формы, растущие или движущиеся перпендикулярно поверхности земли, отличаются круговой симметрией — например, лепестки подсолнуха. Чередование без отражения может быть использовано, чтобы продемонстрировать мотивацию, скорость или динамичное действие: представьте крутящиеся колеса движущегося автомобиля.

Трансляционная симметрия (или кристаллографическая симметрия) возникает, когда элементы повторяются через определенные промежутки. Пример такой симметрии — повторяющиеся планки забора. Трансляционная симметрия может возникнуть в любом направлении и на любом расстоянии, если направление совпадает. Естественные формы обретают такую симметрию через репродукцию. При помощи трансляционной симметрии вы можете создать ритм, движение, скорость или динамичное действие.

Бабочка — пример зеркальной симметрии, планки забора — трансляционной, подсолнух — круговой.

Симметричные формы чаще всего воспринимаются как фигуры на фоне. Визуальная масса симметричной фигуры будет больше, чем масса асимметричной фигуры подобного размера и формы. Симметрия создает баланс сама по себе, но она может оказаться слишком стабильной и слишком спокойной, неинтересной.

У асимметричных форм нет такой сбалансированности, как у симметричных, но вы можете и асимметрично уравновесить всю композицию. Асимметрия часто встречается в естественных формах: вы правша или левша, ветки деревьев растут в разных направлениях, облака принимают случайные формы.

Асимметрия приводит к более сложным отношениям между элементами пространства и поэтому считается более интересной, чем симметрия, а значит — ее можно использовать, чтобы привлечь внимание.

Пространство вокруг асимметричных форм более активно: узоры часто непредсказуемы, и в целом у вас больше свободы самовыражения. Обратная сторона асимметрии в том, что ее сложнее сделать сбалансированной.

Вы можете совмещать симметрию и асимметрию и добиваться хороших результатов — создавайте симметричное равновесие асимметричных форм и наоборот, разбивайте симметричную форму случайной меткой, чтобы сделать ее интереснее. Сталкивайте симметрию и асимметрию в композиции, чтобы ее элементы привлекали больше внимания.

Принципы гештальт-психологии

Принципы дизайна не возникают из ничего: они следуют из психологии нашего восприятия визуальной среды. Многие принципы дизайна вырастают из принципов гештальт-психологии, а также основываются друг на друге.

Так, один из принципов гештальт-психологии касается именно симметрии и порядка и может применяться к композиционному равновесию. Впрочем, это едва ли не единственный принцип, применимый к нему.

Другие принципы гештальт-психологии, такие как фокальные точки и простота — складываются в визуальную массу, а фактор хорошего продолжения, фактор общей судьбы и параллелизм, задают визуальное направление. Симметричные формы чаще всего воспринимаются как фигуры на фоне.

Примеры различных подходов к веб-дизайну

Настало время реальных примеров. Лендинги, представленные ниже, сгруппированы по четырем типам равновесия. Возможно, вы воспримите дизайн этих страниц по-другому, и это хорошо: критическое мышление важнее, чем безоговорочное принятие.

Примеры симметричного равновесия

Дизайн сайта Helen & Hard симметричен. Страница «О нас» на скриншоте снизу и все остальные страницы этого сайта сбалансированы похожим образом:

Скриншот страницы «О нас» сайта Helen & Hard

Все элементы, находящиеся по разные стороны вертикальной оси, расположенной в центре страницы, зеркально отражают друг друга. Логотип, навигационная панель, круглые фотографии, заголовок, три колонки текста — центрированы.

Впрочем, симметрия не идеальна: например, колонки содержат разное количество текста. Кстати, обратите внимание на верх страницы. И логотип, и навигационная панель расположены по центру, но визуально они не кажутся центрированными. Возможно, логотип стоило центрировать по амперсанду или, по крайней мере, по области рядом с ним.

В трех текстовых ссылках меню, расположенных в правой части навигационной панели, больше букв, чем в ссылках левой части — кажется, что центр должен располагаться между About и People. Может быть, если расположить эти элементы в действительности не по центру, но так, чтобы визуально они казались центрированными, композиция в целом выглядела бы более сбалансированной.

Домашняя страница Tilde — еще один пример дизайна с симметричным равновесием. Как и на Helen & Hard, все располагается вокруг вертикальной оси, проходящей по центру страницы: навигация, текст, люди на фотографиях.

Скриншот домашней страницы Tilde

Как и в случае с Helen & Hard, симметрия не идеальна: во-первых, центрированные строчки текста не могут быть отражением фотографии снизу, а во-вторых, пара элементов выбивается из общего ряда — стрелка «Meet the Team» указывает вправо, и текст внизу страницы заканчивается еще одной стрелкой вправо. Обе стрелки являются призывами к действию и обе нарушают симметрию, привлекая к себе дополнительное внимание. Кроме того, по цвету обе стрелки контрастируют с фоном, что тоже притягивает взгляд.

Примеры асимметричного равновесия

Домашняя страница Carrie Voldengen демонстрирует асимметричное равновесие вокруг доминирующей симметричной формы. Глядя на композицию в целом, можно увидеть несколько отдельных друг от друга форм:

Скриншот веб-сайта Carrie Voldengen

Большую часть страницы занимает прямоугольник, состоящий из решетки меньших прямоугольных изображений. Сама по себе решетка симметрична и по вертикальной, и по горизонтальной оси и выглядит очень прочной и стабильной — можно даже сказать, что она слишком сбалансирована и выглядит неподвижной.

Блок текста справа нарушает симметрию. Решетке противопоставлен текст и круглый логотип в левом верхнем углу страницы. Эти два элемента имеют примерно равную визуальную массу, воздействующую на решетку с разных сторон. Расстояние до воображаемой точки опоры примерно такое же, как и масса. Блок текста справа больше и темнее, но круглый голубой логотип добавляет веса своей области и даже совпадает с верхним левым углом решетки по цвету. Текст внизу решетки, кажется, свисает с нее, но он достаточно легкий, чтобы не нарушать композиционного равновесия.

Обратите внимание, что пустое пространство тоже кажется сбалансированным. Пустоты слева, сверху и снизу, а также справа под текстом — уравновешивают друг друга. В левой части страницы больше пустого пространства, чем справа, но в правой части есть дополнительное пространство вверху и внизу.

Изображения в шапке страницы Hirondelle USA сменяют друг друга. Скриншот, представленный ниже, был сделан специально для того, чтобы продемонстрировать асимметричное композиционное равновесие.

Скриншот Hirondelle USA

Колонна на фотографии смещена чуть вправо от центра и создает заметную вертикальную линию, поскольку мы знаем, что колонна — это очень тяжелый объект. Перила слева создают прочную связь с левым краем экрана и тоже представляются достаточно надежными.

Текст над перилами как будто опирается на них; к тому же, справа он визуально сбалансирован фотографией мальчика. Может показаться, что перила как бы свисают с колонны, нарушая баланс, но наличие мальчика и более темный фон за ним уравновешивают композицию, а светлый текст восстанавливает баланс в целом.

Примеры радиального равновесия

Домашняя страница Vlog.it демонстрирует радиальное равновесие, что заметно на скриншоте. Все, кроме объекта в правом верхнем углу, организовано вокруг центра, и три кольца изображений вращаются вокруг центрального круга.

Скриншот домашней страницы Vlog.it

Впрочем, на скриншоте не видно, как страница загружается: линия рисуется из нижнего левого угла экрана к его центру — и с этого момента все, что появляется на странице, вращается вокруг центра или расходится из него лучами, как круги по воде.

Маленький круг в правом верхнем углу добавляет трансляционной симметрии и асимметрии, повышая визуальный интерес к композиции.

На домашней странице Opera’s Shiny Demos нет кругов, но все текстовые ссылки расходятся из общего центра, и легко представить, как вся эта конструкция вращается вокруг одного из центральных квадратов или, может быть, одного из углов:

Скриншот домашней страницы Opera’s Shiny Demos

Название Shiny Demos в левом верхнем углу и логотип Opera в правом нижнем — уравновешивают друг друга и тоже как будто исходят из того же центра, что и текстовые ссылки.

Это хороший пример того, что для достижения радиального равновесия не обязательно использовать круги.

Примеры мозаичного равновесия

Вы можете подумать, что мозаичный баланс используется на сайтах реже всего, особенно после того, как в качестве примера были названы картины Джексона Поллока. Но мозаичное равновесие встречается гораздо чаще, чем кажется.

Яркий пример — домашняя страница Rabbit’s Tale. Разбросанные по экрану буквы определенно создают ощущение хаоса, но композиционное равновесие присутствует.

Скриншот домашней страницы Rabbit’s Tale

Почти равные по величине области цвета и пространства, расположенные с двух сторон, справа и слева — уравновешивают друг друга. Кролик в центре служит точкой опоры. Каждый элемент не привлекает внимания сам по себе.

Сложно разобраться, какие конкретные элементы уравновешивают друг друга, но в целом баланс присутствует. Может быть, визуальная масса правой стороны немного больше, но не настолько, чтобы нарушить равновесие.

Сайты с большим количеством контента, например, новостные порталы или сайты журналов, тоже демонстрируют мозаичное равновесие. Вот скриншот домашней страницы The Onion:

Скриншот домашней страницы The Onion

Здесь множество элементов, их расположение не симметрично, размер текстовых колонок не одинаков, и сложно понять, что уравновешивает что. Блоки содержат разное количество контента, и, следовательно, их размеры различаются. Объекты не располагаются вокруг какого-нибудь общего центра.

Блоки разных размеров и плотности создают некоторое ощущение беспорядка. Поскольку сайт обновляется каждый день, структура этого хаоса постоянно меняется. Но в целом равновесие сохраняется.

Заключение

Принципы дизайна во многом берут начало из гештальт-психологии и теории восприятия и опираются на то, как мы воспринимаем и интерпретируем окружающую визуальную среду. Например, одна из причин, по которым мы замечаем фокальные точки, заключается в том, что они контрастируют с элементами вокруг них.

Прошли тысячелетия, прежде чем человечество в ходе своей
общественно-производственной деятельности осознало необходимость выразить в определенных понятиях установленные им прежде
всего в природе две тенденции: наличие строгой упорядоченности,
соразмерности, равновесия и их нарушения.

Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, геометрическую строгость строения пчелиных сот, последовательность и повторяемость расположения ветвей и листьев на
деревьях, лепестков, цветов, семян растений и отобразили эту
упорядоченность в своей практической деятельности, мышлении
и искусстве.

Понятие «симметрия» употреблялось в двух значениях. В одном
смысле симметричное означало нечто пропорциональное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с
помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого
слова - равновесие.

Греческое слово snmmetra означает однородность, соразмерность,
пропорциональность, гармонию.

Познавая качественное многообразие проявлений порядка и
гармонии в природе, мыслители древности, особенно греческие
философы, пришли к выводу о необходимости выразить симметрию
и в количественных отношениях, при помощи геометрических
построений и чисел.

Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности, соразмерности, гармонии подавляла древнего человека
своим совершенством, и это было использовано религией, различными представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в объективной действительности для доказательства
всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный хаос. Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела (круг и шар) имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.

Следует обратить внимание и на учение Пифагора о гармонии.
Известно, что если уменьшить длину струны или флейты вдвое,
тон повысится на одну октаву. Уменьшению в отношении 3:2 и
4:3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. То, что важнейшие гармонические интервалы получаются при помощи отношений чисел 1, 2 и 3, 4, пифагорейцы использовали для своих мистических выводов о том, что «все есть число» или «все упорядочивается в соответствии с числами». Сами эти числа 1, 2, 3, 4 составляли
знаменитую «тетраду». Очень древнее изречение гласит: «Что есть
оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма
сирен». Геометрическим образом тетрады является треугольник из
десяти точек, основание которого составляют 4 точки плюс 3,
плюс 2, а одна находится в центре.

В геометрии, механике - всюду, где мы имеем дело с отрезками
прямых, мы встречаемся и с понятиями меры, сравнения и соотношения. Эти понятия являются отражением реальных отношений
между предметами в объективном мире. Чтобы пояснить это положение, можно выбрать на данной прямой АВ любую третью точку С.
Таким образом, совершается переход от единства к двойственности,
и мысль этим самым приводит к понятию пропорции. Следует
подчеркнуть, что соотношение есть количественное сравнение двух
однородных величин, или число, выражающее это сравнение. Про-
порция есть результат согласования или равноценности двух или нескольких соотношений. Следовательно, необходимо наличие
не менее трех величин (в рассматриваемом случае прямая и два
ее отрезка) для определения пропорции. Деление данного отрезка
прямой АВ путем выбора третьей точки С, находящейся между
А и В, дает возможность построить шесть различных возможных
соотношений:

a:b ; a:c ; b:a ; b:c ; c:a ; c:b

при условии отметки соответствующей длины отрезков прямой бук-
вами «а», «b», «с» и применения к данной длине любой системы
мер. Проанализировав возможные случаи деления отрезка АВ на
две части, мы приходим к выводу, что отрезок можно делить на:

1) две симметрические части a=b; 2) a:b = c:a

Так как c = a + b, то

a/b = (a + b)/a ;

((a + b)/a очевидно, превосходит единицу); дело обстоит так же и в отношении а/b; значит, «а» превосходит « b » и точка «С» стоит ближе к В, чем
к A.

Это соотношение a:b = c:a или AC/CB = AB/AC

может быть выражено следующим образом: длина АВ была разделе-
на на две неравные части таким образом, что большая из ее частей
относится к меньшей, как длина всего отрезка АВ относится

к его большей части:

3) a/b = b/c равноценно a/b = b/(a + b).

В этом случае «b» больше «а»; точка С ближе к А, чем к В, но отношения те же, что и во втором случае,

Рассмотрим равенство

a/b = c/a = (a + b)/a,

при котором отрезок АС длиннее отрезка СВ. Это общее простейшее
деление отрезка прямой АВ, являющееся логическим выражением
принципа наименьшего действия. Между точками А и В имеется
лишь одна точка C, поставленная таким образом, чтобы длина отрез-
ков АВ, СВ и АС соответствовала принципу простейшего деления;
следовательно, существует только одно числовое выражение, соответствующее отношению a/b. Эту же задачу можно решить путем гео-
метрического построения, известного как деление прямой на две
неравные части таким образом, чтобы соотношение меньшей и боль-
шей частей равнялось соотношению большей части и суммы длин
обеих частей, а это и соответствует формуле

a/b = (a + b)/a,

которую называют «божественная пропорция», «золотое сечение» т.д.

Изучение объективной реальности и задачи практики привели к возникновению наряду с понятием симметрия и понятия асимметрии, которое нашло одно из своих первых количественных выражений в так назыываемом золотом делении, или золотой пропорции.

Пифагор выразил «золотою пропорцию» соотношением:

где Н и R суть гармоническая и арифметическая средние между
величинами А и В.

R = (A + B)/2; H = 2AB/ (A + B).

Кеплер первый обращает вни-
мание на значение этой пропорции в ботанике и называет ее
sectio divina - «божественное сечение»; Леонардо да Винчи назы-
вает эту пропорцию «золотое сечение».

Проведем некоторые преобразования вышеприведенной формулы.
Прежде всего разделим на « b » оба элемента второго члена этого
равенства и обозначим

a/b = x; тогда a/b = (a/b + 1)/(a/b),

или x 2 = x + 1

x 2 - x – 1= 0

Корнями этого уравнения являются

х = 1± Ö5/2 = 1,61803398 .

Это число обладает характернейшими особенностями. Обозначим это число буквой Ф.

Ф = ( Ö5 + 1)/2 = 1,618…; 1/Ф = (Ö5 – 1) /2 = 0,618…;

Ф 2 = -(Ö5 + 3)/2 = 2,618…

Оказывается, что геометрическая прогрессия, в основании которой
лежит Ф, обладает следующей особенностью: любой член этого
ряда равен сумме двух предшествующих ему членов. Ряд 1, Ф, Ф 2 ,
Ф 3 , ..., Ф n является одновременно и мультипликативным, и аддитив-
ным, т. е. одновременно причастен природе геометрической прогрес-
сии и арифметического ряда. Следует обратить внимание на то, что
формула.

Ф = (Ö5 + 1)/2

выражает простейшее асимметрическое деление прямой АВ. С этой
точки зрения данное отношение является «логической» инвариан-
той, проистекающей из счислений отношений и групп. Пеано,
Бертран Рассел и Кутюра показали, что исходя из принципа тождественности можно вывести из этих отношений и групп принципы чистой математики.

Любопытно, что древние архитекторы уже пользовались приемом
асимметричного деления. Так, например, стороны пирамиды Фараона
Джосера относятся друг к другу, как 2: /5, а ее высота относится к большей стороне, как 1: 2.

Интересно, что на сохранившемся до наших дней изображении
древнеегипетского зодчего Хисеры (жил свыше 4,5 тыс. лет тому
назад) имеются две палки - очевидно, эталоны меры. Их длины
относятся, как 1: 1/5, т. е. как меньшая сторона прямоугольного
треугольника к гипотенузе.

Архитектор И. Шевелев рассматривая пропорции древнерусской
архитектуры (церковь Покрова на Нерли и храм Вознесения в
Коломенском) привел убедительные данные, свидетельствующие о том, что русские архитекторы также пользовались пропорциями,
связанными с «золотым сечением».

Пропорция «золотого сечения» дает возможность архитекторам
находить наиболее удачные, красивые, гармоничные сечения целого
и частей, единство разнообразного; в конечном счете они пользуются сочетанием принципов симметрии и асимметрии,

Если в период Возрождения внимание ученых и преподавателей
искусства было приковано к «золотому сечению», то впоследствии
оно постепенно падало, и только в 1855 г. немецкий ученый Цейзинг
вновь ввел его в обиход в своем труде
«Эстетические исследования». В нем он писал, что для того, чтобы
целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным
с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно
быть то же отношение, что и между большей частью и целым,

Применение «золотого сечения» есть лишь частный случай общего закона периодической повторяемости одной и той же пропорции
в совокупности, в деталях целого,

Рассмотрение вопроса о «золотом сечении» приводит к выводу,
что здесь мы имеем дело с отображением средствами математики
(при помощи понятий симметрии и асимметрии) существующей
в природе пропорциональности.

Все вышеизложенное позволяет утверждать, что взгляды Пифагора и его школы содержали наряду с мистикой и идеализмом
и некоторые плодотворные математические и естественнонаучные
идеи. Впоследствии учение пифагорейцев получило развитие в философии крупнейшего представителя античного идеализма Платона.
Мир, утверждал Платон, состоит из правильных многоугольников,
обладающих идеальной симметрией. Физические тела - это идеальные математические сущности, составленные из треугольников,
упорядоченные демиургом.

Отдельные интересные суждения о симметрии и гармонии мы
встречаем в работах многих философов и естествоиспытателей
(прежде всего Леонардо да Винчи, Лейбница, Декарта, Спенсера,
Гегеля и других). В значительной
степени прав немецкий ученый Венцлав Бодо, когда пишет, что
«философия, за исключением некоторых высказываний, не пыталась
дать объяснение этой интересной стороне природы. На протяжении
веков спорили о причинности, детерминизме и других вопросах,
не видя взаимосвязи их с проблематикой симметрии или не стремясь
к этому. Симметрия, по-видимому, прибавлялась только как искусственная роскошь к довольно узкому готовому миру вещей с их
свойствами и силовыми взаимодействиями, их движениями и изменениями».

В настоящее время в науке преобладают
определения указанных категорий на основе перечисления их важнейших признаков. Например, симметрия определяется как совокупность
свойств: порядка, однородности, соразмерности, пропорциональности, гармоничности и т. д. Асимметрия же обычно определяется
как отсутствие признаков симметрии, как беспорядок, несоразмерность, неоднородность и т. д. Все признаки симметрии в такого рода
ее определениях, естественно, рассматриваются как равноправные,
одинаково существенные, и в отдельных конкретных случаях при
установлении симметрии какого-либо явления можно пользоваться
любым из них. Так, в одних случаях симметрия - это однородность,
а в других - соразмерность и т. д. Очевидно, что по мере развития
нашего познания к определению симметрии можно прибавлять все новые и новые признаки. Поэтому определения симметрии такого
рода всегда неполны.

То же можно сказать и о существующих определениях асимметрии. Очевидно, что в определениях понятий, сформулированных
по принципу перечисления свойств объектов, ими отражаемых,
отсутствует связь между перечисленными свойствами объектов.
Такие свойства симметрии, как, например, однородность и соразмерность, друг из друга не следуют. Сказанное, однако, не означает бесполезности вышеуказанных определений симметрии и асимметрии. Наоборот, они весьма полезны и необходимы. Без них
нельзя дать и более общее определение категорий симметрии
и асимметрии. На основе подобных эмпирических определений
симметрии и асимметрии развиваются определения более общего
характера, сущность которых - в соотнесении частных признаков
симметрии и асимметрии к определенным всеобщим свойствам движущейся материи. «В симметрии,- пишет А. В. Шубников,-
отражается та сторона явлений, которая соответствует покою, а в
дисимметрии (по нашей терминологии в асимметрии) та их
сторона, которая отвечает движению»

Таким образом, все свойства симметрии рассматриваются как
проявления состояний покоя, а все свойства асимметрии - как
проявления состояний движения. Если признать это правильным,
то очевидно, что соотношение симметрии и асимметрии в таком
случае таково же, как соотношение покоя и движения. Мы, следовательно, можем сказать, что симметрия относительна, а асимметрия
абсолютна. Симметрию мы должны, далее, рассматривать как частный случай асимметрии, как ее момент. Поэтому ни о каком равноправии симметрии и асимметрии и речи быть не может. Взаимоотношение симметрии и асимметрии здесь явно асимметрично. Но
вряд ли можно с таких позиций правильно понять многие свойства
симметрии и асимметрии. Почему, например,
такую симметрию пространства, как его однородность, должны
рассматривать как соответствующую покою? Почему мы должны искать симметрию только среди покоящихся
явлений? Разве нет симметрии во взаимодействии и движении явлений мира? Мысль о связи между понятиями симметрии и асимметрии и соответственно между понятиями покоя и движения точнее
можно выразить как единство покоя и движения. Понятие сим-
метрии раскрывает момент покоя, равновесия в состояниях движения, а понятие асимметрии - момент движения, изменения в со стояниях покоя, равновесия. Но и такой формулировкой не охваты­вают основные признаки симметрии и асимметрии. Например, сим­метрия частиц и античастиц и их ассиметрия в известной нам области мира не могут быть истолкованы исходя из понятий о единстве покоя и движения. Вряд ли существование частиц и анти­частиц можно рассматривать как момент покоя в каком-то движении материи, а несоответствие числа частиц числу античастиц в извест­ной нам области мира - как моменты движения в каком-то состоянии покоя. Можно сделать вывод, что в идее А. В. Шубникова о соот­несении симметрии с покоем, а асимметрии - с движением заклю­чается только момент истины.

Хорошо известно, что понятие симметрии охватывает и такие стороны существования явлений, которые ничего общего с покоем не имеют. Например, регулярная повторяемость тех или иных со­стояний движения, их определенная периодичность является одним из признаков симметрии, но к покою, она никакого отношения не имеет. Такой вид асимметрии, как анизотропность пространства, из свойств движения, конечно, выведена быть не может. Тем не менее многие свойства симметрии и асимметрии соответственно связаны с покоем и движением.

К общим определениям понятий симметрии и асимметрии можно подойти исходя из следующих положений:

во-первых, нужно признать, что эти понятия относятся ко всем известным нам атрибутам материи, что они отражают взаимные связи между ними;

во-вторых, эти понятия основываются на диалектике соотно­шения тождества и различия, существующей как между атрибутами материи, так и между их состояниями и признаками;

в-третьих, нужно иметь в виду, что единство симметрии и асим­метрии представляет собой одну из форм проявления закона един­ства и взаимоисключения противоположности. Правильность этих отправных положений может быть доказана как выводом их из многочисленных частных определений симметрии и асимметрии, так и правильностью их следствий, т. е. необходимостью и всеобщностью определений симметрии и асимметрии, полученных на их основе.

Непосредственной логической основой для определения понятий симметрии и асимметрии, на наш взгляд, является диалектика тожде­ства и различия. Здесь нужно отметить, что в диалектике тождество и различие рассматриваются лишь в определенных отношениях, во взаимодействии, во включении различия в тождество, а тождества в различие.

Тождество проявляется только в определенных отношениях и в определенных процессах; тождество всегда конкретно. К тождеству можно отнести: равновесие, равнодействие, сохранение, устойчи­вость, равенство, соразмерность, повторяемость и т. д. Тождество не существует вечно: оно возникает, становится и развивается. Если дать его общее определение, то можно сказать, что оно представляет собой процесс образования сходства в различном и противоположном.

Для того, чтобы имело место тождество, необходимо существо­вание различного и противоположного. Вне различий тождество вообще не имеет смысла, поэтому нельзя говорить о тождественном в тождественном, а только в различном и противоположном.

Характеризуя диалектическое понимание тождества, нужно выделить его следующие стороны: тождество не существует вне различия и противоположности, тождество возникает и исчезает; тождество существует только в определенных отношениях и возника­ет при определенных условиях, наиболее полным выражением тожде­ства является полное превращение противоположностей друг в друга. Проявления тождества бесконечно многообразны. Поэтому в процес­се познания явлений мира нельзя ограничиваться только установ­лением тождества между ними, но необходимо раскрывать то, как возникает это тождество, при каких условиях и в каких отношениях оно существует. Основываясь на этой характеристике диалектики тождества и различия, можно сформулировать следующие опре­деления симметрии и асимметрии.

Действительно ли является всеобщим
сформулированное нами определение понятия симметрии, охватывает
ли оно все известные нам формы проявления симметрии как в объективном мире, так и в процессе нашего познания? Очевидно, что
при ответе на этот вопрос придется ограничиться только наиболее
общими характерными примерами. Представим себе две точки, находящиеся по отношению к какой-то прямой на ее противоположных
сторонах; если эти противоположные точки равноудалены от этой
прямой, то о них говорят как о симметричных по отношению к
данной прямой. Если мы теперь совершим операцию перегиба, то
в результате наши точки полностью совпадут, сольются друг с другом,
следовательно, можно говорить об их полном тождестве. Симметрия
расположения данных точек указывает именно на то, при каком
процессе и при каких условиях они становятся тождественными.
Значит, этот вид симметрии полностью подходит под сформулирован-
ное определение симметрии. Как известно, существует определенная
симметрия между протоном и нейтроном; она выражается в том, что
в условиях сильных взаимодействий они не отличаются друг от друга,
становятся тождественными друг другу. Их симметрия и есть не что иное, как образование тождества между этими различными части-
цами в процессе сильных взаимодействий. В понятии изотопического
спина как раз и выражаются моменты тождества, имеющиеся у
протонов и нейтронов, т. е. их симметрия в условиях сильного
взаимодействия. Но подходят ли под данное определение симметрии
такие общие симметрии пространства и времени, как, например, их
однородность?

Однородность пространства означает, что по отношению к вза-
имодействиям явлений все места в пространстве тождественны и ни-
как не сказываются на характере взаимодействия. Тождествен-
ность всех мест в пространстве (точек в пространстве) по отноше-
нию к взаимодействиям явлений и есть их,строгая полная симметрия.
То же в общем виде можно сказать и об однородности времени.
Тождественность всех временных интервалов по отношению к взаимо-

Действию явлений и есть их строгая и полная,симметрия. На наш
взгляд, нельзя найти ни одного вида симметрии, который бы
противоречил данному нами определению. Но это не значит, что
данное определение симметрии является законченным и вполне
строгим - видимо, будут необходимы какие-то его уточнения.

Сформулированное определение понятия симметрии позволяет
распространить это понятие на все атрибуты материи, на все ее
состояния и структуры, а также на все типы связей и взаимодействий.
Так, группа преобразований Лоренца выражает существующую сим-
метрию во взаимосвязи пространства, времени и движения - этих
атрибутов материи". Симметрия группы изотопического спина выра-
жает тождественные моменты по отношению к сильным взаимодей-
ствиям у частиц, участвующих в этих взаимодействиях.

В первом издании этой книги (1968) мы писали: «Поскольку
существуют различные взаимодействия, и даже во многих отноше-
ниях противоположные, как, например, сильные и слабые, то есте-
ственно допустить, что в них при определенных условиях возникают
и существуют тождественные моменты, т. е. им свойственна опреде-
ленная симметричность. Открытие такой симметрии было бы значи-
тельным шагом вперед в деле создания теории элементарных
частиц. В настоящее время связь между известными видами взаимо-
действия в физике еще не установлена, но можно предвидеть эти
связи исходя из принципа симметрии». Теперь эти связи между
сильным, слабым и электромагнитным взаимодействиями установле-
ны, и это действительно явилось важным звеном в развитии теории
элеменарных частиц. Хотелось бы высказаться против жесткого
разделения многообразных видов симметрии на геометрические и
динамические. Первые отражают свойства симметрии пространства и
времени, а вторые - свойства симметрии состояния взаимодействия.
Но поскольку пространство, время, движение и входящее в него вза имодействие внутренне связаны между собой, должна быть внут-
ренняя связь также между геометрической и динамической сим-
метриями. И она на самом деле существует. Так, симметрия равно-
мерного прямолинейного движения и покоя (одна из черт сим-
метрии группы Галилея), очевидно, не может быть охарактери-
зована только как динамическая или только как геометрическая.
В ней выражены свойства симметрии как пространства и времени",
так и состояния движения. Вообще любая симметрия в своей основе
имеет единство и взаимосвязь различных атрибутов материи. Правда,
не всегда эта взаимосвязь носит непосредственный характер, что
и создает возможность разделения видов симметрии на геометри-
ческие и динамические. Оба эти вида симметрии могут быть вы-
ражены и в динамической, и в геометрической форме. Так, группу
симметрии изотопического спина, которая обычно относится к дина-
мической симметрии, можно выразить и в геометрической форме;
ядерные взаимодействия инвариантны относительно поворотов в изо-
топическом пространстве. Из этой формулировки можно получить
ряд характеристик взаимодействия нуклонов, например, положение
о том, что ядерные силы между протоном и протоном и протоном
и нейтроном одинаковы, и ряд других. При изучении различных видов
симметрии весьма важно учитывать единство атрибутов материи, а
следовательно, и внутреннюю связь между симметриями их свойств
и состояний. Значение этого положения особенно ясно выступает
при изучении вопроса о взаимоотношении группы симметрии и зако-
нов сохранения.

По этому вопросу существуют две точки зрения.

Часть физиков (Берестецкий, Вигнер, Штейнман и др.) утверж-
дает, что фундаментом законов сохранения являются формы геомет-
рической симметрии, в то время как другие, наоборот, считают,
что законы сохранения определяют формы геометрической сим-
метрии.. Согласно первой точке зрения, например, однородность
времени определяет закон сохранения энергии, а согласно второй-
закон сохранения энергии определяет однородность времени. Мы
думаем, что обе точки зрения являются некоторой абсолютизацией
возможных подходов к проблеме. Наличие обеих точек зрения про-
явилось в том, что возникло мнение о разделении законов сохранения
на две группы: наиболее общие из них связаны с геометрическими
симметриями, а менее общие - с динамическими.

Так, законы сохранения оказались разделенными на две группы:
кинематические (основанные на геометрических симметриях) и
динамические (основанные на динамических симметриях). К первой
группе относятся законы сохранения энергии, импульса, момента
импульса, ко второй - закон сохранения электрического заряда,
барионного числа, лептонного числа, изотопического спина и ряд
других.

Такое разделение законов сохранения в итоге основано на игно-
рировании единства атрибутов материи и на таком следствии этого игнорирования, как противопоставление динамических и геоме-
трических симметрий друг другу. Непосредственной же предпосылкой
деления законов сохранения на две группы является убеждение,
что законы сохранения зависят от определенных симметрий.
Бесспорно, что между формами симметрии и законами сохранения
существует глубокая связь, но эту связь нельзя преувеличивать.
С определенными симметриями связаны не сами законы сохранения,"
а определенные формы их проявления. Так, известные нам формы
проявления закона сохранения энергии, конечно, связаны с однород-
ностью времени, но в целом этот закон может быть связан и с другими
геометрическими симметриями, пока нам не известными. Кроме того,
каждый закон сохранения связан и с,определенными формами
асимметрии, об этом подробнее будет сказано ниже.

Формы симметрии и формы закона сохранения всегда взаимосвя-
заны, но в целом как симметрия, так и законы сохранения пред-
ставляют собой две различные, отнюдь не изолированные друг от
друга стороны единой закономерности мира.

Перейдем теперь к характеристике необходимых предпосылок
для определения асимметрии.

Как и для определения симметрии, так и для определения асим-
метрии непосредственной предпосылкой, основанием является диа-
лектика тождества и различия.

Вместе с процессами становления тождества в различном и
противоположном происходят процессы становления различий и
противоположностей в едином, тождественном, целом. Если основой
симметрии можно считать возникновение единого, то основу асим-
метрии нужно полагать в раздвоении единого на противополож-
ные стороны. Понятие асимметрии, как и понятие симметрии,
применимо ко всем атрибутам материи и выражает их различие, их
особенность по отношению друг к другу. Поэтому взаимосвязь
атрибутов материи выражается не только симметрией, но и асиммет-
рией. Применимо понятие асимметрии и к различным состояниям
атрибутов материи и их взаимосвязи. Вообще говоря, где применима
симметрия, там применима и асимметрия, и наоборот.

Исходя из сказанного можно дать следующее определение асим-
метрии: асимметрией называется категория, которая обозначает
существование и становление в определенных условиях и отношениях
различий и противоположностей внутри единства, тождества, цель-
ности явлений мира.

Рассмотрим некоторые виды асимметрии.

Весьма общим видом асимметрии является однонаправленность
хода времени, полнейшая невозможность фактической замены
настоящего прошедшим или будущим, а будущего - прошедшим или
настоящим, в свою очередь прошедшего - настоящим и будущим.
Все эти три состояния времени не заменяют друг друга - в них
на первом плане находится различие. В них нет симметрии. Извест-
ная операция обращения времени, рассматриваемая только как математический прием, основана на том положении, что законы
движения обладают большей устойчивостью и в обозримых интерва-
лах не изменяются. Мы убеждены, что законы явлений мира яв-
ляются вечными и поэтому действуют во всех состояниях времени:
настоящем, прошедшем и будущем. Значит, операция обращения
времени имеет реальный смысл лишь постольку, поскольку в какой-то
мере наше убеждение в полной устойчивости, вечности законов
явлений мира отвечает действительности.

Объективная диалектика обратимых и необратимых процессов
может быть выражена единством симметрии и асимметрии времени.
Необратимость является существенной характеристикой всякого раз-
вития: исходящая и нисходящая, прогрессивная и регрессивная
ветви развития сами по себе необратимы и асимметричны. Однако
соединенные общим и единым процессом развития, они с необходи-
мостью приводят к симметричным ситуациям: повторениям на ка-
чественно новых уровнях спиралеобразного движения.

Особым вариантом понятий симметрии и асимметрии являются
понятия ритма и аритмии. Регулярная повторяемость подавляющего
большинства процессов в природе, их устойчивое чередование (в жи-
вой природе, например, упорядоченная во времени смена поколений,
в неживой природе - повторяющиеся космические процессы) позво-
ляет видеть в ритмических процессах одну из фундаментальных
симметрий природы, С другой стороны, аритмия - это одна из ха-
рактеристик объективной асимметрии, суть которой в нерегулярной
и случайной смене и чередовании процессов. Понятия ритма и арит-
мии могут быть экстраполированы на процесс развития, поскольку
асимметричное время как атрибут развития придает смысл ритму и
аритмии. Вне времени они просто лишены смысла.

Симметрия обращения времени, таким образом, является резуль-
татом абстрагирования от изменчивости, присущей законам явлений
мира. И только в рамках применимости этой абстракции обращение
времени в уравнениях, выражающих законы движения, не противо-
речит действительности. В самом деле, в каких-то очень широких
пределах мы можем считать законы явлений мира вечными, а
следовательно, и допускать операцию обращения времени. Призна-
вая, что у нас сейчас нет никаких оснований утверждать, что в
действительности время может идти и от будущего к прошедшему,
все же в связи с высказанными выше положениями о единстве
атрибутов материи и о взаимопроникновении тождества и различия
напрашивается вопрос: если состояния времени глубоко различны,
то существует ли в каждом различии и тождество?

Время необратимо, его состояния не эквивалентны друг другу,
но, может быть, все же есть и моменты тождества между ними,
может быть, в необратимости времени есть и моменты его обра-
тимости, может быть, его состояния в каких-то отношениях
взаимозаменяемы, как взаимозаменяемы измерения пространства?
Мы думаем, что в различных состояниях времени есть и моменты их тождества, а в общей его необратимости есть моменты его об-
ратимости. Не рассматривая далее этого вопроса, только отметим,
что должны же быть реальные, природные основания для возмож-
ности обратного хода времени в отражении объективных событий,
как, например, на киноленте кадры, движущиеся в обратном на-
правлении? То, что реально существует в отражении, должно иметь
моменты каких-то реальных прообразов и в том, что отражается.
Поэтому в математической модели позитрона как электрона, дви-
жущегося из будущего в прошедшее, есть, видимо, какой-то
реальный смысл. Вообще факты асимметрии так же многочисленны
и многообразны, как и факты симметрии.

Асимметрия - такой же необходимый момент в структуре, в
изменении и во взаимосвязи явлений мира, как и симметрия. Асим-
метрия необходимо имеет место и в самой симметрии. Так, в сим-
метрии состояний покоя и равномерного прямолинейного движения
по отношению к законам движения есть все же асимметричность,
которая состоит в неравноправности этих их состояний и проявляется
в ряде различий между состояниями покоя и равномерного прямо-
линейного движения. У тела, покоящегося в данной системе отсчета
по отношению ко всем другим телам, покоящимся и движущимся
в этой же системе отсчета, скорость будет равна нулю, а у тела
движущегося скорость по отношению ко всем покоящимся и дви-
жущимся телам в данной системе отсчета будет иметь определенное
значение и только в частном случае равна нулю. Отсюда далеко
не полная эквивалентность состояний В практике эта асимметрия проявляется весьма резко - ведь
далеко не безразлично, движется ли поезд из Москвы к Ленинграду
или Ленинград движется навстречу поезду. Очевидно, что энергия
передается для передвижения поезда, а не расходуется на пере-
движение Ленинграда. Операция приближения поезда к Ленинграду
и опе а ии п иближения Ленинграда к поезду не эквивалентны и не взаимозаменяемы.

Весьма общими примерами асимметрии являются асимметрия
между фермионами и бозонами, асимметрия между реакциями
порождения и поглощения нейтрино, асимметрия спинов электронов,
асимметрия в прямых и обратных превращениях энергии.

Уже из определений симметрии и асимметрии следует их не-
разрывное единство.

Это обстоятельство в какой-то мере подчеркнуто А. В. Шубни-
ковым: «Какой бы трактовки симметрии мы ни придерживались, одно
остается обязательным: нельзя рассматривать симметрию без ее
антипода - дисимметрии» (29, 162).

По нашему мнению, более точным является название не «принцип
симметрии», а принцип единства симметрии и асимметрии.

Во всех реальных явлениях симметрия и асимметрия сочетаются
друг с другом. И надо думать, что во всех правильных, т. е. соот ветствующих действительности, научных обобщениях имеют место
не просто те или иные симметрии или асимметрии, а определенные
формы их единства.

Так, в группах преобразования Галилея и Лоренца наряду с чер-
тами симметрии существуют и черты асимметрии.

Например, в преобразованиях Галилея и Лоренца симметричны
все состояния покоя и равномерного прямолинейного движения,
но асимметричны состояния покоя и ускоренного движения.

Задача нахождения единства симметрии и асимметрии каких-
либо явлений сводится к нахождению таких групп операций,
в которых раскрывается как тождественное в различном, так и
различное в тождественном. Поэтому прежде чем поставить задачу
нахождения симметрии в данном явлении или совокупности явле-
ний по отношению к каким-то группам операций, необходимо
установить различия между сторонами данного явления или между
явлениями в их совокупности, так как симметрия представляет собой
наличие тождества не вообще, а только в различном. Если же мы
имеем совокупность абсолютно тождественных явлений, то никакой
симметрии в этой совокупности по отношению к любой группе
операции быть не может.

Значит, прежде чем искать симметрию, нужно найти асимметрию.
Прежде чем была установлена симметрия протонов и нейтронов по
отношению к сильным взаимодействиям, было установлено разли-
чие между ними, их определенная асимметричность по отношению
к электромагнитным взаимодействиям. Частицы и античастицы асим-
метричны потому, что в противоположности между ними имеются
тождественные моменты, в силу чего они и являются зеркальными
отражениями друг друга. Единство симметрии и асимметрии заклю-
чается и в том, что они предшествуют одна другой.

Диалектическое единство, присущее объективным процессам сим-
метрии и асимметрии, позволяет выдвинуть в качестве одного из
принципов познания принцип диалектического единства симметрии
и асимметрии, согласно которому всякому объекту присуща та или
иная форма единства симметрии и асимметрии. Причем рассмотрение
данного объекта в генезисе выражается в переходе от симметрии к
асимметрии (или наоборот). Заметим, что данный процесс тождест-
вен смене конкретных форм единства симметрии и асимметрии.

Как известно, в объективной действительности не может иметь
места абсолютное единство противоположностей. Именно поэтому
отношение конкретного тождества, т. е. тождества, ограниченного
различиями, и является объективным аналогом гносеологическо-
го единства симметрии и асимметрии.

Всякий принцип познания воплощается в конкретный метод, ору-
дие и средство познающей деятельности. Таким методом может быть
метод перехода от симметрии к асимметрии (или наоборот). Он
позволяет осуществлять объясняющую и предсказывающую функ-
ции в развивающемся знании, а также в определенной мере опти мизировать поисковую деятельность. Этот метод оказывается тесно
связанным с методами сходства и различия, предвидения и гипотезы,
аналогии, экстраполяции.

Если принять за симметрию теоретической системы ее непроти-
воречивость, себетождественность и инвариантность по отношению
к описываемым объектам и явлениям, то развитие научного знания
можно определить как переход к симметрии (т. е. асимметрия- сим-
метрия). В этом случае симметрия выступает как идеализированная
цель познания. Поиск симметрии - это поиск единого и тождествен-
ного в том, что первоначально виделось различныМ, разобщенным.
Всякая более высокая симметрия реализует возможность переноса
научной теории для решения новых познавательных задач.

Упрощая в некоторых случаях теоретические системы, симмет-
рия совсем не обязательно выступает аналогом простоты научного
знания. Поиск новых форм симметрии интуитивно связан со стрем-
лением к порядку, гармонии. Однако нет достаточных оснований
для возведения антропоморфных понятий простоты и красоты тео-
рии в ранг методологических закономерностей (31. 1979. 12, 49 - 60).

Простота и красота - особые варианты симметрии, связанные
с рациональным и эмоциональным (образным) способами постиже-
ния человеком объективного мира. Абсолютизация роли этих понятий
в развивающемся знании представляется нам необоснованной,
поскольку связана с отрывом симметрии от своей диалектической
противоположности - асимметрии.

Асимметрия в познании проявляется как несоответствие тео-
рии и эксперимента, как взаимная противоречивость нескольких
независимых теорий, либо как их внутренняя противоречивость.
Асимметрия служит исходным пунктом в познании, на каждом из
этапов его развития; именно с ней связан процесс научного поиска
истины.

Асимметрия неоднократно играла эвристическую роль в познании.
Примерами являются; эпикурейское представление об отклонении
атомов от прямолинейного движения, несогласие Кеплера с симмет-
рией движения планет по Копернику и др. История науки свиде-
тельствует о том, что именно асимметрия обусловливает появление
в познании новой формы симметрии, которая и выступает в качестве
относительной истины.

Во взаимосвязи с принципом единства симметрии и асимметрии
находится принцип симметрии, согласно которому всякая научная
теория должна быть непротиворечивой и инвариантной отно-
сительно группы описываемых объектов и явлений. Симметрия
теории выражает также адекватность научного познания объектив-
ной действительности. Многие видные ученые (П. Дирак, П. Кюри,
Л. Пастер, А. Пуанкаре, А. Салам) интуитивно использовали прин-
цип симметрии при получении важных теоретических результатов.

Однако принцип симметрии не учитывает того обстоятельства, что всякой научной теории присущи внутренние (не логические, а диалектические) противоречия, а также недостатки, не говоря уже
о действительном или возможном существовании объектов, которые
"она описать не в состоянии. Отрицая, по сути дела, роль асимметрии
(признается только нарушение симметрии), данный принцип не
учитывает особенностей научного познания как процесса развития и
становления.

К ограниченности принципа симметрии следует отнести и то,
что он связан только с выявлением тождественных отношений среди
различных объектов. Между тем в познании не менее широко исполь-
зуется и противоположная процедура - нахождение различного и
противоположного среди тождественных объектов и явлений.

Несомненный интерес представляет статья немецкого философа
Герберта Герца, в которой он рассматривает роль симметрии и
асимметрии в теории элементарных частиц. Он справедливо утвер-
ждает, что «ни одна будущая теория (элементарных частиц.- В. Г.)
не может обойти проблему асимметрии. Из философских сообра-
жений все процессы в мире следует рассматривать как единство
симметрии и асимметрии» (183. 1963. 10; 227; 289). Автор считает, что
применение категорий симметрии и асимметрии, очевидно, приведет
к возникновению новых воззрений в диалектике природы.

Прошли тысячелетия, прежде чем человечество в ходе своей
общественно-производственной деятельности осознало необходимость выразить в определенных понятиях установленные им прежде
всего в природе две тенденции: наличие строгой упорядоченности,
соразмерности, равновесия и их нарушения.

Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, геометрическую строгость строения пчелиных сот, последовательность и повторяемость расположения ветвей и листьев на
деревьях, лепестков, цветов, семян растений и отобразили эту
упорядоченность в своей практической деятельности, мышлении
и искусстве.

Понятие «симметрия» употреблялось в двух значениях. В одном
смысле симметричное означало нечто пропорциональное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с
помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого
слова - равновесие.

Греческое слово snmmetra означает однородность, соразмерность,
пропорциональность, гармонию.

Познавая качественное многообразие проявлений порядка и
гармонии в природе, мыслители древности, особенно греческие
философы, пришли к выводу о необходимости выразить симметрию
и в количественных отношениях, при помощи геометрических
построений и чисел.

Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности, соразмерности, гармонии подавляла древнего человека
своим совершенством, и это было использовано религией, различными представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в объективной действительности для доказательства
всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный хаос. Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела (круг и шар) имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.

Следует обратить внимание и на учение Пифагора о гармонии.
Известно, что если уменьшить длину струны или флейты вдвое,
тон повысится на одну октаву. Уменьшению в отношении 3:2 и
4:3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. То, что важнейшие гармонические интервалы получаются при помощи отношений чисел 1, 2 и 3, 4, пифагорейцы использовали для своих мистических выводов о том, что «все есть число» или «все упорядочивается в соответствии с числами». Сами эти числа 1, 2, 3, 4 составляли
знаменитую «тетраду». Очень древнее изречение гласит: «Что есть
оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма
сирен». Геометрическим образом тетрады является треугольник из
десяти точек, основание которого составляют 4 точки плюс 3,
плюс 2, а одна находится в центре.

В геометрии, механике - всюду, где мы имеем дело с отрезками
прямых, мы встречаемся и с понятиями меры, сравнения и соотношения. Эти понятия являются отражением реальных отношений
между предметами в объективном мире. Чтобы пояснить это положение, можно выбрать на данной прямой АВ любую третью точку С.
Таким образом, совершается переход от единства к двойственности,
и мысль этим самым приводит к понятию пропорции. Следует
подчеркнуть, что соотношение есть количественное сравнение двух
однородных величин, или число, выражающее это сравнение. Про-
порция есть результат согласования или равноценности двух или нескольких соотношений. Следовательно, необходимо наличие
не менее трех величин (в рассматриваемом случае прямая и два
ее отрезка) для определения пропорции. Деление данного отрезка
прямой АВ путем выбора третьей точки С, находящейся между
А и В, дает возможность построить шесть различных возможных
соотношений:

a:b ; a:c ; b:a ; b:c ; c:a ; c:b

при условии отметки соответствующей длины отрезков прямой бук-
вами «а», «b», «с» и применения к данной длине любой системы
мер. Проанализировав возможные случаи деления отрезка АВ на
две части, мы приходим к выводу, что отрезок можно делить на:

1) две симметрические части a=b; 2) a:b = c:a

Так как c = a + b, то

a/b = (a + b)/a ;

((a + b)/a очевидно, превосходит единицу); дело обстоит так же и в отношении а/b; значит, «а» превосходит « b » и точка «С» стоит ближе к В, чем
к A.

Это соотношение a:b = c:a или AC/CB = AB/AC

может быть выражено следующим образом: длина АВ была разделе-
на на две неравные части таким образом, что большая из ее частей
относится к меньшей, как длина всего отрезка АВ относится

к его большей части:

3) a/b = b/c равноценно a/b = b/(a + b).

В этом случае «b» больше «а»; точка С ближе к А, чем к В, но отношения те же, что и во втором случае,

Рассмотрим равенство

a/b = c/a = (a + b)/a,

при котором отрезок АС длиннее отрезка СВ. Это общее простейшее
деление отрезка прямой АВ, являющееся логическим выражением
принципа наименьшего действия. Между точками А и В имеется
лишь одна точка C, поставленная таким образом, чтобы длина отрез-
ков АВ, СВ и АС соответствовала принципу простейшего деления;
следовательно, существует только одно числовое выражение, соответствующее отношению a/b. Эту же задачу можно решить путем гео-
метрического построения, известного как деление прямой на две
неравные части таким образом, чтобы соотношение меньшей и боль-
шей частей равнялось соотношению большей части и суммы длин
обеих частей, а это и соответствует формуле

a/b = (a + b)/a,

которую называют «божественная пропорция», «золотое сечение» т.д.

Изучение объективной реальности и задачи практики привели к возникновению наряду с понятием симметрия и понятия асимметрии, которое нашло одно из своих первых количественных выражений в так назыываемом золотом делении, или золотой пропорции.

Пифагор выразил «золотою пропорцию» соотношением:

где Н и R суть гармоническая и арифметическая средние между
величинами А и В.

R = (A + B)/2; H = 2AB/ (A + B).

Кеплер первый обращает вни-
мание на значение этой пропорции в ботанике и называет ее
sectio divina - «божественное сечение»; Леонардо да Винчи назы-
вает эту пропорцию «золотое сечение».

Проведем некоторые преобразования вышеприведенной формулы.
Прежде всего разделим на « b » оба элемента второго члена этого
равенства и обозначим

a/b = x; тогда a/b = (a/b + 1)/(a/b),

или x 2 = x + 1

x 2 - x – 1= 0

Корнями этого уравнения являются

х = 1± Ö5/2 = 1,61803398 .

Это число обладает характернейшими особенностями. Обозначим это число буквой Ф.

Ф = ( Ö5 + 1)/2 = 1,618…; 1/Ф = (Ö5 – 1) /2 = 0,618…;

Ф 2 = -(Ö5 + 3)/2 = 2,618…

Оказывается, что геометрическая прогрессия, в основании которой
лежит Ф, обладает следующей особенностью: любой член этого
ряда равен сумме двух предшествующих ему членов. Ряд 1, Ф, Ф 2 ,
Ф 3 , ..., Ф n является одновременно и мультипликативным, и аддитив-
ным, т. е. одновременно причастен природе геометрической прогрес-
сии и арифметического ряда. Следует обратить внимание на то, что
формула.

Ф = (Ö5 + 1)/2

выражает простейшее асимметрическое деление прямой АВ. С этой
точки зрения данное отношение является «логической» инвариан-
той, проистекающей из счислений отношений и групп. Пеано,
Бертран Рассел и Кутюра показали, что исходя из принципа тождественности можно вывести из этих отношений и групп принципы чистой математики.

Любопытно, что древние архитекторы уже пользовались приемом
асимметричного деления. Так, например, стороны пирамиды Фараона
Джосера относятся друг к другу, как 2: /5, а ее высота относится к большей стороне, как 1: 2.

Интересно, что на сохранившемся до наших дней изображении
древнеегипетского зодчего Хисеры (жил свыше 4,5 тыс. лет тому
назад) имеются две палки - очевидно, эталоны меры. Их длины
относятся, как 1: 1/5, т. е. как меньшая сторона прямоугольного
треугольника к гипотенузе.

Архитектор И. Шевелев рассматривая пропорции древнерусской
архитектуры (церковь Покрова на Нерли и храм Вознесения в
Коломенском) привел убедительные данные, свидетельствующие о том, что русские архитекторы также пользовались пропорциями,
связанными с «золотым сечением».

Пропорция «золотого сечения» дает возможность архитекторам
находить наиболее удачные, красивые, гармоничные сечения целого
и частей, единство разнообразного; в конечном счете они пользуются сочетанием принципов симметрии и асимметрии,

Если в период Возрождения внимание ученых и преподавателей
искусства было приковано к «золотому сечению», то впоследствии
оно постепенно падало, и только в 1855 г. немецкий ученый Цейзинг
вновь ввел его в обиход в своем труде
«Эстетические исследования». В нем он писал, что для того, чтобы
целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным
с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно
быть то же отношение, что и между большей частью и целым,

Применение «золотого сечения» есть лишь частный случай общего закона периодической повторяемости одной и той же пропорции
в совокупности, в деталях целого,

Рассмотрение вопроса о «золотом сечении» приводит к выводу,
что здесь мы имеем дело с отображением средствами математики
(при помощи понятий симметрии и асимметрии) существующей
в природе пропорциональности.

Все вышеизложенное позволяет утверждать, что взгляды Пифагора и его школы содержали наряду с мистикой и идеализмом
и некоторые плодотворные математические и естественнонаучные
идеи. Впоследствии учение пифагорейцев получило развитие в философии крупнейшего представителя античного идеализма Платона.
Мир, утверждал Платон, состоит из правильных многоугольников,
обладающих идеальной симметрией. Физические тела - это идеальные математические сущности, составленные из треугольников,
упорядоченные демиургом.

Отдельные интересные суждения о симметрии и гармонии мы
встречаем в работах многих философов и естествоиспытателей
(прежде всего Леонардо да Винчи, Лейбница, Декарта, Спенсера,
Гегеля и других). В значительной
степени прав немецкий ученый Венцлав Бодо, когда пишет, что
«философия, за исключением некоторых высказываний, не пыталась
дать объяснение этой интересной стороне природы. На протяжении
веков спорили о причинности, детерминизме и других вопросах,
не видя взаимосвязи их с проблематикой симметрии или не стремясь
к этому. Симметрия, по-видимому, прибавлялась только как искусственная роскошь к довольно узкому готовому миру вещей с их
свойствами и силовыми взаимодействиями, их движениями и изменениями».