Сколько чисел можно составить из 5 цифр. Пракикум "решение задач по комбинаторике". Перестановки из n элементов

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая - из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 24.

Однако многие задачи можно решить быстрее и легче. Для этого надо знать простейшие комбинации, которые можно составлять из элементов конечного множества.

И одна из первых таких комбинаций - перестановки.

Рассмотрим пример.

Имеются три книги. Обозначим их буквами a , b и c .Эти книги нужно расставить на полке по-разному:

а b с, а с b , b а с, b с а, с а b , с b а .

Каждое из этих расположений и называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называют каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Обозначают: Р n = n ! ( n факториал).

n! =.

Например: 3! =
, 1! = 1.

Поэтому задачу с книгами можно решить так:

Р 3 =
.

Задача №1.

Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

Р 4 =

Задача №2.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из чисел 0,2, 4.6?

Решение: из цифр 0,2.4.6 можно составить Р 4 перестановок. Из этого числа нужно исключить те перестановки, которые начинаются с 0.

Число таких перестановок Р 3 . Значит искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0,2,4,6 равно:

Р 4 – Р 3 = 4!-3!=Ответ: 18.

Задача №3.

Имеются 9 различных книг, четыре из которых учебники.

Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р 6 способами.

И в каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р 4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг равно произведению: Р 6 *Р 4 =

Задача № 4.

В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия.

Сколькими способами можно расставить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Решение: Р6* Р2=

Ответ: 1440.

Вторым видом комбинаций являются размещения.

Пусть имеются 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a , b , c , d .

В пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора .

и т.д. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещениями из четырех элементов по три и обозначают А

Из составленной таблицы видно, что таких комбинаций 24.

Размещением из n элементов по k ( nk ) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов и обозначается А .

И необязательно каждый раз составлять схемы или таблицы. Достаточно знать формулу:

Если размещения составляются из n элементов по n, то А

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения .

• Правило суммы

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

• Правило произведения

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n m способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 3 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

n! = 1 2 3 4 … n.

Например, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 2 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов .

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

ЗАДАЧИ и решения

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

Ответ: 15 вариантов.

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?

Ответ: 9 вариантов.

3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Ответ: 15 путей.

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

Ответ: 8 способами.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

Ответ: 48 пар.

6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

Чётные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

Ответ: 24 способа.

14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

Ответ: 120 способов.

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

Ответ: 336 способов.

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ

4 3 2 1 = 24

Ответ: 24 варианта.

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 7 6 5 4 = 6720

Ответ: 6720 вариантов.

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 4 3 2 1 = 120

Ответ: 120 вариантов.

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

6 5 4 3 2 1 = 720

Ответ: 720 способов.

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Ответ: 8.000.000 вариантов.

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

№ телефона 394

10 10 10 10 = 10.000

Ответ: 10.000 абонентов.

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

Ответ: 30 способов.

25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чётных чисел?

5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

2 4 3 2 1 = 48

Ответ: 48 чётных чисел.

26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?

Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

1 4 3 2 = 24

Ответ: 24 числа.

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Ответ: 4500 чисел.

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Ответ: 125 чисел.

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 2 = 4
Трёхзначных – 2 2 2 = 8
Четырёхзначных – 2 2 2 2 =16
Пятизначных – 2 2 2 2 2 = 32
Шестизначных – 2 2 2 2 2 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Ответ: 126 чисел.

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

Ответ: 110 способов.

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

Ответ: 870 способов.

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

12 10 2 = 240

Ответ: 240 способов.

33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?