Движение центра масс системы. Уравнение движения центра масс системы Определение ускорения движения центра масс груза

В любой системе материальных точек, а следовательно, и системе тел имеется одна замечательная точка С, которая называется центром масс илицентром инерции системы. Ее положение определяется радиусом-вектором r c :

Для центра масс справедливо следующее утверждение: при движении любой системы частиц ее центр масс движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены всевнешние силы, действующие на систему. По форме уравнение движения центра масс совпадает со вторым законом Ньютона:

где - ускорение центра масс.

Уравнение динамики вращательного движения

При вращательном движении твердого тела аналогом второго закона Ньютона является основное уравнение динамики вращательного движения , которое имеет вид:

где e - угловое ускорение, М - суммарный момент сил относительно оси вращения. Если момент инерции тела изменяется в процессе движения, то нужно применять этот закон в следующей форме:

где - момент импульса твердого тела.

Любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух основных видов движения - поступательного и вращательного. Например, качение шара можно рассматривать как перемещение с ускорением, равным ускорению центра масс, и вращение относительно оси, проходящей через центр масс. Каждое движение подчиняется, как показано в таблице 5, соответствующему закону.

Законы динамики в неинерциальных системах отсчета.

Силы инерции

Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называются неинерциальными (НИСО) , и в них не выполняются рассмотренные выше законы динамики: второй закон Ньютона, уравнение движения центра масс, уравнение динамики вращательного движения. Однако их можно сохранить и для неинерциальных систем, если кроме обычных сил взаимодействия F ввести еще “силы” особой природы F ин , называемые силами инерции . Их введение обусловлено ускорением движения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.

Законы динамики Таблица 5

Физическая ситуация	Применяемые законы
Прямолинейное движение материальной точки, поступательное движение твердого тела	Второй закон Ньютона
Движение материальной точки по окружности или другой криволинейной траектории	Второй закон Ньютона
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси	Основной закон динамики вращательного движения
Сложное движение твердого тела	Уравнение движения центра масс и уравнение динамики вращательного движения

В НИСО законы динамики примут вид:

второй закон Ньютона + ;

уравнение движения центра масс + ;

уравнение динамики вращательного движения + .

Существует два основных типа неинерциальных систем. Обозначим символом К инерциальную систему отсчета, а - неинерциальную .

1. движется относительно К с постоянным ускорением . В этом случае в уравнениях динамики следует ввести силу инерции , равную = - m a c . Точкой приложения этой силы считать центр масс.

Центром масс системы называется точка с радиус-вектором

Для непрерывного распределения массы с плотностью 
. Если силы тяжести, приложенные к каждой частице системы, направлены в одну сторону , то центр масс совпадает с центром тяжести. Но если
не параллельны , то центр масс и центр тяжести не совпадают.

Взяв производную по времени от , получим:

т.е. полный импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс.

Подставляя это выражение в закон изменения полного импульса, находим:

Центр масс системы движется как частица, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена результирующая внешних сил.

При поступательном движении все точки твердого тела движутся так же, как и центр масс (по таким же траекториям), поэтому для описания поступательного движения достаточно записать и решить уравнение движения центра масс.

Так как
, то центр массзамкнутой системы должен сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, т.е. =const. Но при этом вся система может вращаться, разлетаться, взрываться и т.п. в результате действия внутренних сил .

1. Реактивное движение. Уравнение Мещерского

Реактивным называется движение тела, при котором происходит присоединение или отбрасывание массы. В процессе движения происходит изменение массы тела: за время dt тело массы m присоединяет (поглощает) или отбрасывает (испускает) массу dm со скоростью относительно тела ; в первом случае dm>0, во втором dm<0.

Рассмотрим такое движение на примере ракеты. Перейдем в инерциальную систему отсчета K", которая в данный момент времени t движется с той же скоростью , что и ракета – такая ИСО называетсясопутствующей – в этой системе отсчета ракета в данный момент t покоится (скорость ракеты в этой системе =0). Если сумма внешних сил, действующих на ракету, не равна нулю, то уравнение движения ракеты в системе K", но так как все ИСО эквивалентны, то и в системе К уравнение будет иметь тот же самый вид:

Это – уравнение Мещерского , описывающее движение любого тела с переменной массой}.

В уравнении масса m – величина переменная, и ее нельзя внести под знак производной. Второе слагаемое в правой части уравнения называется реактивной силой

Для ракеты реактивная сила играет роль силы тяги, но в случае присоединения массы dm/dt>0 и реактивная сила будет силой торможения (например, при движении ракеты в облаке космической пыли).

1. Энергия системы частиц

Энергия системы частиц состоит из кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы

и является, согласно определению, величиной аддитивной (как и импульс).

Иначе обстоит дело с потенциальной энергией системы. Во-первых, между частицами системы действуют силы взаимодействия
. ПоэтомуA ij =-dU ij , где U ij - потенциальная энергия взаимодействия i-ой и j-ой частиц. Суммируя U ij по всем частицам системы, находим так называемую собственную потенциальную энергию системы:

Существенно, что собственная потенциальная энергия системы зависит только от ее конфигурации. К тому же эта величина - не аддитивная.

Во-вторых, на каждую частицу системы, вообще говоря, действуют и внешние силы. Если эти силы - консервативные, то их работа будет равна убыли внешней потенциальной энергии A=-dU внеш, где

где U i - потенциальная энергия i-ой частицы во внешнем поле. Она зависит от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной.

Таким образом, полная механическая энергия системы частиц, находящейся во внешнем потенциальном поле, определяется как

E сист =К сист +U соб +U внеш

Точка С , положение которой определяется радиус-вектором:

называется центром масс системы материальных точек. Здесь m i - масса i -й частицы; r i - радиус-вектор, задающий положение этой частицы; - суммарная масса системы. (Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.)

Продифференцировав r C по времени, найдем скорость центра масс:

где V i - скорость i -ой материальной точки, p i - ее импульс, P – импульс системы материальных точек. Из (2.18) следует, что суммарный импульс системы есть

P = mV C , (2.19)

Из (2.19) и (2.16), получим уравнение движения центра масс:

(а C – ускорение центра масс). Таким образом, из уравнения

следует, что центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы а C = 0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится .

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс (сокращенно ц- системой). Эта система является инерциальной.

Контрольные вопросы

1. В каких системах отсчета справедливы законы Ньютона?

2. Какие формулировки второго закона Ньютона вы знаете?

3. Чему равен вес свободно падающего тела?

4. Какой знак имеет скалярное произведение силы трения и скорости тела?

5. Чему равен импульс системы материальных точек в системе центра масс?

6. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил ?

1. Пуля пробивает две примыкающие друг к другу коробки с жидкостями: вначале коробку с глицерином, затем такую же коробку с водой. Как изменится конечная скорость пули, если коробки поменять местами? Другими силами, действующими на пулю, кроме силы сопротивления жидкости F = – rV , пренебречь.

2. Движение материальной точки задано уравнениями x = at 3 , y = bt.

3. Скорость материальной точки задана уравнениями u x = A ∙ sinwt ,u y = A ∙ coswt. Изменяется ли сила, действующая на точку: а) по модулю; б) по направлению?

4. Шарик, висящий на нити длиной l , после горизонтального толчка поднимается на, высоту H , не сходя с окружности. Может ли его скорость оказаться равной нулю: а) при H < l б) при H > l ?

5. Два тела массами т 1 > m 2 падают с одинаковой высоты. Силы сопротивления считать постоянными и одинаковыми для обоих тел. Сравнить время падения тел.

6. Два одинаковых бруска, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силы F . Зависит ли сила натяжения нити: а) от массы брусков; б) от коэффициента трения брусков о плоскость?

7. Брусок массой m 1 = 1 кг покоится на бруске массой m 2 = 2 кг. На нижний брусок начала действовать горизонтальная сила, возрастающая пропорционально времени, ее модуль F = 3t (F – в Н, t – в с). В какой момент времени верхний брусок начнет проскальзывать? Коэффициент трения между брусками m = 0,1, трение между нижним бруском и опорой пренебрежимо мало. Принять g = 10 м/с 2 .

8. Два шарика а и б, подвешенные на нитях в общей точке0, равномерно движутся по круговым траекториям, лежащим в одной горизонтальной плоскости. Сравнить их угловые скорости.

9. Коническая воронка вращается с постоянной угловой скоростью w. Внутри воронки на стенке лежит тело, которое может свободно скользить вдоль образующей конуса. При вращении тело находится в равновесии относительно стенки. Является это равновесие устойчивым или неустойчивым?

Глава 3
Работа и энергия

МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА – это произвольный заранее выбранный набор материальных тел, поведение которых анализируется.

В дальнейшем будет использоваться следующее правило: В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫКЛАДКАХ ХАРКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК В ОТЛИЧИЕ ОТ ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ, БУДУТ ИМЕТЬ ИНДЕКС.

МАССА ТЕЛА – это сумма масс всех материальных точек, составляющих данное тело

ВНЕШНИЕ СИЛЫ – это силы взаимодействия материальных точек, включенных в механическую систему и не включенных.

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ – это силы взаимодействия материальных точек, включенных в механическую систему.

ТЕОРЕМА Д1 . Сумма внутренних сил механической системы всегда равна нулю .

Доказательство . Согласно аксиоме Д5, для любой пары материальных точек механической системы сумма сил их взаимодействия всегда равна нулю. Но все взаимодействующие точки принадлежат системе и, следовательно, любой из внутренних сил всегда найдется противодействующая внутренняя сила. Следовательно, полная сумма всех внутренних сил обязательно равна нулю. Ч.т.д.

ТЕОРЕМА Д2 .Сумма моментов внутренних сил механической системы всегда равна нулю .

Доказательство . Согласно аксиоме Д5, каждой внутренней силе найдется противодействующая внутренняя сила. Поскольку линии действия этих сил совпадают, то их плечи относительно любой точки пространства будут одинаковы и, следовательно, их моменты, относительно выбранной точки пространства по величине одинаковы, но знаки имеют разные, так как силы направлены противоположно. Следовательно, полная сумма моментов всех внутренних сил обязательно равна нулю. Ч.т.д.

ТЕОРЕМА Д3 .Произведение массы всей механической системы на ускорение ее центра масс равняется сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Доказательство . Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из конечного числа материальных тел. На основании аксиомы Д2 каждое тело можем разбить на конечное число материальных точек. Пусть всего получено n таких точек. Для каждой такой точки на основании аксиомы Д4 можно составить уравнение движения

Учитывая, что (КИНЕМАТИКА стр. 3), а также разбив все силы, действующие на i -ю точку, на внешние и внутренние, получим из предыдущего равенства

Если просуммировать уравнения движения всех точек системы, получим

Используя коммутативность операций суммирования и дифференцирования (фактически знаки суммирования и дифференцирования можно менять местами), получим

(40)

Выражение, полученное в скобках, может быть представлено через координату центра масс системы (СТАТИКА стр. 15)

где m – масса всей системы;

Радиус-вектор центра масс системы.

Как следует из теоремы Д1, последнее слагаемое в выражении (40) обращается в ноль, поэтому

или , ч.т.д. (41)

Следствие . Центр масс механической системы движется таким образом, как если бы он был материальной точкой, обладающей всей массой системы и к которой приведены все внешние силы .

Движение механической системы в отсутствие внешних сил

Теорема Д4. Если внешние силы, действующие на механическую систему, уравновешены в некотором направлении, то центр масс системы в этом направлении будет двигаться с постоянной скоростью.

Доказательство Х совпадала с направлением, в котором внешние силы уравновешены, т.е. сумма проекций внешних сил на ось Х равна нулю

Тогда, согласно теореме Д3

Так как , следовательно

Если проинтегрировать последнее выражение, то получим

ТЕОРЕМА Д5 . Если внешние силы, действующие на механическую систему, уравновешены в некотором направлении и в начальный момент система покоилась, то центр масс системы остается неподвижен все время движения.

Доказательство . Повторив рассуждения, приведенные в доказательстве предыдущей теоремы, получим, что скорость центра масс должна остаться такой же, какой она была в начальный момент, т.е. нулевой

Проинтегрировав это выражение, получим

ТЕОРЕМА Д6 . Если внешние силы, действующие на механическую систему, уравновешены в некотором направлении и в начальный момент система покоилась, то сумма произведений масс каждого из тел системы на абсолютное смещение его собственного центра масс в том же направлении равна нулю.

Доказательство . Выберем систему координат таким образом, чтобы ось Х совпадала с направлением, в котором внешние силы уравновешены или отсутствуют (F 1 , F 2 , …, F k на рис. 3), т.е. сумма проекций внешних сил на ось Х равна нулю

Основной закон динамики можно записать в иной форме, зная понятие центра масс системы:

Это есть уравнение движения центра масс системы , одно из важнейших уравнений механики. Оно утверждает, что центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы .

Ускорение центра масс системы совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Если , то , значит и - это случай замкнутой системы в инерциальной системе отсчета. Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, это означает, что её импульс сохраняется в процессе движения.

Пример: однородный цилиндр массы и радиуса скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти уравнение движения?

Совместное решение дает значение параметров

Уравнение движения центра масс совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально массе системы .

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс, которая движется поступательно относительно ИСО называют системой центра масс. Ее особенностью является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю, так, как .

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Кинематика поступательного движения

Физические основы механики.. кинематика поступательного движения.. механическое движение формой существования..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Механическое движение
Материя, как известно, существует в двух видах: в виде вещества и поля. К первому виду относятся атомы и молекулы, из которых построены все тела. Ко второму виду относятся все виды полей: гравитаци

Пространство и время
Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Эти понятия являются основополагающими для всех естественных наук. Любое тело имеет размеры, т.е. свою пространственную протяженность

Система отсчета
Для однозначного определения положения тела в произвольный момент времени необходимо выбрать систему отсчета - систему координат, снабженнуя часами и жестко связаннуя с абсолютно твердым телом, по

Кинематические уравнения движения
При движении т.М ее координаты и меняются со временем, поэтому для задания закона движения необходимо указать вид фун

Перемещение, элементарное перемещение
Пусть точка М движется от А к В по криволинейному пути АВ. В начальный момент ее радиус-вектор равен

Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения
Движение точки характеризуется также ускорением-быстротой изменения скорости. Если скорость точки за произвольное время

Поступательное движение
Простейшим видом механического движения твердого тела является поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела перемещается вместе с телом, оставаясь параллельной| сво

Закон инерции
В основе классической механики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в сочинении «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687г. Эти законы явились результатом гениал

Инерциальная система отсчета
Известно, что механическое движение относительно и его характер зависит от выбора системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Например, тела, лежащие на гладком п

Масса. Второй закон Ньютона
Основная задача динамики заключается в определении характеристик движения тел под действием приложенных к ним сил. Из опыта известно, что под действием силы

Основной закон динамики материальной точки
Уравнение описывает изменение движения тела конечных размеров под действием силы при отсутствии деформации и если оно

Третий закон Ньютона
Наблюдения и опыты свидетельствуют о том, что механическое действие одного тела на другое является всегда взаимодействием. Если тело 2 действует на тело 1, то тело 1 обязательно противодействует те

Преобразования Галилея
Они позволяют определить кинематические величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Возьмем

Принцип относительности Галилея
Ускорение какой-либо точки во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно одинаково:

Сохраняющиеся величины
Любое тело или система тел представляют собой совокупность материальных точек или частиц. Состояние такой системы в некоторый момент времени в механике определяется заданием координат и скоростей в

Центр масс
В любой системе частиц можно найти точку, называемую центром масс

Консервативные силы
Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и других сил. Поле

Центральные силы
Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле об

Потенциальная энергия частицы в силовом поле
То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциально

Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля
Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий, т.к. он применим и к силам

Кинетическая энергия частицы в силовом поле
Пусть частица массой движется в силов

Полная механическая энергия частицы
Известно, что приращение кинетической энергии частицы при перемещении в силовом поле равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу:

Закон сохранения механической энергии частицы
Из выражения следует, что в стационарном поле консервативных сил полная механическая энергия частицы может изменяться

Кинематика
Поворот тела на некоторый угол можно

Момент импульса частицы. Момент силы
Кроме энергии и импульса существует ещё одна физическая величина, с которой связан закон сохранения - это момент импульса. Моментом импульса частицы

Момент импульса и момент силы относительно оси
Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось

Закон сохранения момента импульса системы
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы и

Таким образом, момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, не изменяется со временем
Это справедливо относительно любой точки инерциальной системы отсчета: . Моменты импульса отдельных частей системы м

Момент инерции твердого тела
Рассмотрим твердое тело, которое мож

Уравнение динамики вращения твердого тела
Уравнение динамики вращения твердого тела можно получить, записав уравнение моментов для твердого тела, вращающегося вокруг произвольной оси

Кинетическая энергия вращающегося тела
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через него. Разобьем его на частицы с малыми объемами и массами

Работа вращения твердого тела
Если тело приводится во вращение силой

Центробежная сила инерции
Рассмотрим диск, который вращается вместе с шариком на пружине, надетой на спицу, рис.5.3. Шарик находится

Сила Кориолиса
При движении тела относительно вращающейся СО, кроме, появляется ещё одна сила-сила Кориолиса или кориолисова сила

Малые колебания
Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть определено с помощъю одной величины, например х. В этом случае говорят, что система имеет одну степень свободы.Величиной х может быть

Гармонические колебания
Уравнение 2-го Закона Нъютона в отсутствие сил трения для квазиупругой силы вида имеет вид:

Математический маятник
Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною, совершающая колебания в вертикальной плоск

Физический маятник
Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, связанной с телом. Ось перпендикулярна рисунку и нап

Затухающие колебания
В реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводят к уменьшению потенциальной энергии системы, и колебания будут затухающими.В простейшем случае

Автоколебания
При затухающих колебаниях энергия системы постепенно уменьшается и колебания прекращаются. Для того, чтобы их сделать незатухающими, необходимо пополнять энергию системы извне в определенные момент

Вынужденные колебания
Если колебательная система, кроме сил сопротивления, подвергается действию внешней периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону

Резонанс
Кривая зависимости амплитуды вынужденых колебаний от приводит к тому, что при некоторой определенной для данной систе

Распространение волн в упругой среде
Если в каком либо месте упругой среды (твёрдой, жидкой, газообразной) поместить источник колебаний, то из-за взаимодействия между частицами колебание будет распространяться в среде от частицы к час

Уравнение плоской и сферической волн
Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от ее кординат,

Волновое уравнение
Уравнение волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Для его установления найдем вторые частные производные по времени и координатам от урав