Егэ комбинаторика задания с решением. Правила комбинаторики в задаче B6. Задачи только на определение вероятности

Ширина блока px

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Подписи к слайдам:

Решение заданий ЕГЭ Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Айшаев Мухадин Муратович

Айшаев Мухадин Муратович учитель математики МКОУ «Средняя общеобразовательная школа с.п.Кара-Суу» и преподаватель «Лицея для одаренных детей» г.Нальчик Айшаев Кязим Мухадинович «Решение заданий ЕГЭ по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» Введение

• Задания открытого банка заданий ЕГЭ. В презентацию включен необходимый теоретический материал и образцы решений заданий (практика), а также задачи для самостоятельного решения (домашнее задание) и ответы к ним. Может быть полезна учащимся для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.

Для успешного решения задач этого типа необходимо:

• Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
• Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
• Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
• Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения

Повторить материал по темам:

• Элементы комбинаторики
• Поочередный и одновременный выбор
• Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
• Элементы статистики
• Табличное и графическое представление данных
• Числовые характеристики рядов данных
• Элементы теории вероятностей
• Вероятности событий
• Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Классическое определение вероятности

• Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n , где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.
• Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

Формула классической теории вероятностей

Число благоприятных исходов

Число всех равновозможных исходов

Вероятность события =

Вероятность события - это десятичная дробь, а не целое число!

Перестановки

• Перестановкой множества из n элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Число перестановок можно вычислить по формуле Pn=n!

Размещения

• Размещениями множества из n различных элементов по m (m≤n ) элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Сочетания

• Сочетаниями из n различных элементов по k элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по k элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, k -элементные подмножества данного множества из n элементов).

Задача 1:В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

• Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: 2+6;6+2; 3+5;5+3; 4+4.
• Таким образом, всего благоприятных исходов 5. Вероятность найдем, как отношение числа 5 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. = 0,13888… Округлим до сотых. Ответ: 0, 14.

.

• Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу .
• Решение: Условие можно толковать так: какова вероятность, что все 4 раза выпадет решка. Вероятность того, что решка выпадет
• 1 раз равна,
• 2 раза равна =(Теорема об умножении вероятностей),
• 3 раза равна =,
• а 4 раза равна ()4==0,0625.
• Ответ: 0,0625

Задача 3: Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых.

• Решение: Всего возможных комбинаций: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: 1-й кубик 2-й кубик 1 очко 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 2 очка 1, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 3 очка 1, 2, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 4 очка 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 5 очков 1, 2, 3, 4 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 6 очков 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Благоприятных исходов 5. Хотя проще было бы посчитать число неблагоприятных для нас исходов. Когда выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Итак, всего благоприятных исходов 30. Найдем отношение 30/36 = 0,83333…
• Ответ. 0,83

Для самостоятельного решения

• В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,11)
• В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,14)
• В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,17)
• В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,01)
• В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,07)

Задача 4: Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

• Решение : По условию индекс может стоять либо на первом, либо на втором месте:
• H2NO HNO2
• H3NO HNO3
• 2 + 2 = 4
• Ответ: 4

Задача 5: Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?

• а, в, с – признаки
• 1 случай – гамета не обладает ни одним из этих признаков – только 1тип
• 2 случай – одним из этих признаков: а; в; с – 3 типа
• 3 случай - двумя из трех признаков: ав, ас, вс – 3 типа
• 4 случай – всеми тремя признаками: авс – 1 тип
• 1+3+3+1=8 типов гамет
• Ответ: 8

Задача 6: Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.

• 111 сотни десятки единицы
• 112 а в с
• 121 1 1 1
• 122 8 2 2 2
• 211 222=8

Задача 7:Три друга – Антон (А), Борис (Б) и Виктор (В) – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?

• А Б В
• (АВ) 3 варианта посещения
• Сочетание из 3 по 2
• С3= =3
• Ответ: 3

Задача 8: Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов (А), Григорьев (Г), Сергеев (С) и Федоров (Ф), тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

• А Г С Ф – число сочетаний из 4 по 2
• АФ С4==6
• Ответ: 6

Задача 9: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков? Число размещений: А5= =20 Ответ: 20 Задача 10: Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

• А Б В
• Число сочетаний из 3 по 2: 3 способа
• Количество перестановок: Р2=2!=2
• или А-размещения
• А3==6

Задача 11: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?

• 12 21 23 32 13 31
• Ответ: 6

• Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
• Решение: Всего участвует 20 спортсменок, из них из Китая 20-(8+7)=5 спортсменок.
• Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая будет
• Ответ: 0,25

Задача 13: В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

• n =25
• m =23 билета без вопроса о грибах
• P(A)===0,92
• Ответ: 0,92

Для самостоятельного решения 1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 - из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии. (0,2 ) 2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 - из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии.(0,16) 3. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные - из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.(0,18) 4. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные - из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.(0,475) 5. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные - из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. (0,25).

• Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
• А = {Насос не подтекает}
• n =1000
• m =1000-5=995насосов не подтекают
• P(A)===0,995
• Ответ: 0,995

• Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
• А={Сумка качественная}
• n=100
• m=100-8 без скрытых дефектов
• P(A)===0,92
• Ответ: 0,92

Задача 16 : В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

• Решение : 50-7=43 – исправных аккумуляторов
• Вероятность – покупка исправного аккумулятора
43 - Число благоприятных исходов 50 - Число всех равновозможных исходов Р = Ответ: 0,86

Для самостоятельного решения

• Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,96)
• Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,96)
• В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (0,995)
• В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.(0,992)
• Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут. (0,875)
• В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. (0,4)

Произведение вероятностей

• Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.
• Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Сложение вероятностей

• Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
• Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Список использованной литературы

• А.Л. Семенов, И.В. Ященко «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2015. Математика»;
• http://mathege.ru/ - открытый банк заданий по математике.

В этой статье использован материал из лекций Шарича Владимира Златковича и Максимова Дмитрия Васильевича на КПК foxford.

1. Сколько четырехзначных чисел содержит ровно одну семерку?

Четырехзначное число имеет вид . Если четырехзначное число содержит ровно одну семерку, то она может стоять

1) на первом месте, и тогда на остальных трех местах могут стоять любые цифры от 0 до 9, кроме цифры 7, и по правилу произведения мы получаем четырехзначных чисел, у которых семерка стоит на первом месте.

2) на любом месте, кроме первого, и тогда по правилу произведения мы получаем . У нас три возможности расположения цифры 7, на первом месте может стоять 8 цифр (все цифры, кроме нуля и 7), на тех местах, где не стоит цифра 7 - 9 цифр.

Сложим полученные варианты, и получим четырехзначных чисел, содержащих ровно одну семерку.

2. Сколько пятизначных чисел содержит ровно две семерки?

Так же как в предыдущей задаче у нас две возможности:

1) Одна из семерок стоит на первом месте, а вторая на любом из оставшихся четырех мест. На трех местах, не занятых цифрой 7 может стоять любая из 9 цифр (все, кроме цифры 7). В этом случае мы получаем чисел.

2) Ни одна из семерок не стоит на первом месте. В этом случае мы имеем возможностей расставить 2 семерки на оставшихся 4-х местах. У нас осталось 3 места, не занятых цифрой 7, одно из которых первое, и таким образом мы получаем чисел.

Сложим полученные варианты, и получим пятизначных чисел, содержащих ровно две семерки.

3. Сколько существует пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены в порядке возрастания?

Так как первой цифрой не может быть 0, рассмотрим последовательность цифр 1-9, расположенных в порядке возрастания.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Если мы выберем из этой последовательности 5 произвольных цифр, например так:

1, 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 , 8 , 9

то получим пятизначное число, цифры которого различны и расположены в порядке возрастания.

Итак существует 126 пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены в порядке возрастания.

Треугольник Паскаля и число сочетаний.

4. Задача о хромом короле. Пусть есть доска размером . Король находится в левом верхнем углу доски и может перемещаться по доске, двигаясь только вправо и вниз. Сколькими способами король может добраться до левого нижнего угла доски?

Посчитаем, для каждой клетки, сколькими способами король может до нее добраться.

Так как король может двигаться только вправо и вниз, до любой клетки первого столбца и первой строки он может добраться единственным способом:

Рассмотрим произвольную клетку доски. Если в клетку, стоящую над ней можно добраться способами, а в клетку, стоящую слева от нее способами, то в саму клетку можно добраться способами (это следует из того, что король может двигаться только вправо и вниз, то есть не может дважды зайти на одну клетку):

Заполним начальные клетки, пользуясь этим правилом:

Мы видим, что при заполнении клеток у нас получается , только повернутый на бок.

Число в каждой клетке показывает, сколькими способами король может попасть в эту клетку из левой верхней.

Например, чтобы попасть в клетку (4;3) - четвертая строка, третий столбец, король должен сделать 4-1=3 шага вправо, и 3-1=2 шага вниз. То есть всего 3+2=5 шагов. Нам нужно найти число возможных последовательностей этих шагов:

То есть найти, скольким способами мы можем расположить 2 вертикальные (или 3 горизонтальные) стрелки на 5-ти местах. Число способов равно:

То есть ровно то число, которое стоит в этой клетке.

Для того, чтобы попасть в последнюю клетку, король должен сделать всего шага, из которых по вертикали. Таким образом, он может попасть в последнюю клетку

способами.

Можно получить рекуррентное соотношение для числа сочетаний:

Смысл этого соотношения следующий. Путь у нас есть множество, состоящее из n элементов. И нам нужно выбрать из этого множества l элементов. Все способы, которыми мы можем это сделать делятся на две группы, которые не пересекаются. Мы можем:

а) зафиксировать один элемент, и из оставшихся n-1- го элемента выбрать l-1 элемент. Это можно сделать способами.

б) выбрать из оставшихся n-1- го элемента все l элементов. Это можно сделать способами.

Всего получаем

способов.

Также можно получить соотношение:

Действительно, левая часть этого равенства показывает число способов выбрать какое-то подмножество из множества, содержащего n элементов. (Подмножество, содержащее 0 элементов, 1 элемент и так далее.) Если мы пронумеруем n элементов, то получим цепочку из n нулей и единиц, в которой 0 означает, что данные элемент не выбран, а 1 - что выбран. Всего таких комбинаций, состоящих из нулей и единиц .

Кроме того, число подмножеств с четным числом элементов равно числу подмножеств с нечетным числом элементов:

Докажем это соотношение. Для этого докажем, что между подмножествами с четным числом элементов и подмножествами с нечетным числом элементов существует взаимно однозначное соответствие.

Зафиксируем один элемент множества:

Теперь возьмем произвольное подмножество, и если оно не содержит этот элемент, то поставим ему в соответствие подмножество, состоящее из тех же элементов, что и выбранное, плюс этот элемент. А если выбранное подмножество уже содержит это элемент, то поставим ему в соответствие подмножество, состоящее из тех же элементов, что и выбранное, минус этот элемент. Очевидно, что из этих пар подмножеств одно содержит четное число элементов, а другое - нечетное.

5. Рассмотрим выражение

1. Сколько слагаемых имеет этот многочлен?

а) до приведения подобных членов

б) после приведения подобных членов.

2. Найти коэффициент при произведении

При возведении суммы слагаемых в степень , мы должны эту сумму умножить на себя раз. Мы получаем сумму одночленов, степень каждого из которых равна m. Число всевозможных произведений, состоящих из переменных из множества с учетом порядка и возможностью повторения равно числу размещений с повторениями из k по m:

Когда мы приводим подобные члены, мы считаем одинаковыми произведения, содержащие равное число множителей каждого вида. В этом случае, чтобы найти число слагаемых многочлена после приведения подобных членов, мы должны найти число сочетаний с повторениями из k по m:

Найдем коэффициент при произведении .

Выражение представляет собой произведение m элементов из множества , причем элемент взят раз, элемент взят раз, и так далее, и, наконец, элемент взят раз. Коэффициент при произведении равен числу возможных произведений:

Рассмотрим частный случай: - Бином Ньютона. И получим формулу для биномиальных коэффициентов.

Произвольный член многочлена, полученного возведением двучлена в степень имеет вид , где А - биномиальный коэффициент, . Как мы уже получили,

Таким образом,

Тогда если мы положим х=1 и y=1, то получим, что

6. Задача про кузнечика.

Есть n клеточек, расположенных последовательно. Кузнечик должен попасть из крайней левой клеточки в крайнюю правую, прыгая вправо на произвольное число клеток.

а) Сколькими способами он может это сделать?

Изобразим условие задачи:

Кузнечик может попасть в крайнюю правую клетку, побывав, или не побывав в любой внутренней клетке. Присвоим клетке значение 1, если кузнечик в ней побывал, и 0, если нет, например, так:

Тогда у нас есть n-2 клеточек, каждая из которых может принимать значение 0 или 1. Задача сводится к нахождению числа последовательностей, состоящих из n-2 нулей и единиц. Таких последовательностей .

б) сколькими способами кузнечик может добраться в n- ю клетку, сделав k шагов?

Чтобы попасть в n- ю клетку, сделав k шагов, кузнечик должен попасть ровно в k -1 клетку между первой и последней. Так как последний шаг он делает всегда в последнюю клетку. То есть стоит вопрос, сколькими способами можно выбрать k -1 клетку из n-2 клеток?

Ответ: .

в) сколькими способами кузнечик может добраться в n- ю клетку, двигаясь на одну или на две клетки вправо?

Распишем, сколькими способами можно попасть в каждую клетку.

В первую и вторую клетки можно попасть единственным способом: в первую - никуда из нее не уходя, и во вторую из первой:

В третью можно попасть из первой или второй, то есть двумя способами:

В четвертую - из второй или третьей, то есть 1+2=3 способами:

В пятую - из третьей или четвертой, то есть 2+3=5 способами:
Можно заметить закономерность: чтобы найти число способов, которыми кузнечик может попасть в клетку с номером k нужно сложить число способов, которыми кузнечик может попасть в две предыдущие клетки:

Мы получили интересную последовательность чисел - числа Фибоначчи - это линейная рекуррентная последовательность натуральных чисел, где первое и второе равно единице, а каждое последующее - сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...

Подготовка к ЕГЭ по математике (В4) Решение комбинаторных задач

Зарьянцева В.П.

Комбинаторика

произведения

Размещения

Правило суммы

• Если элемент x можно выбрать способами n x и если элемент y можно выбрать n y способами, то выбор «либо x , либо y » можно осуществить способами n x + n y .

Любой цвет

Выбираем один шар

Nx +N y =4+5=9 способов

N x =4

N y =5

• В коробке 10 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линию. Сколькими способами можно выбрать одну тетрадь?
• Решение: или – логическая сумма
• 10+5=15 (выбор неважен)

• Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел: 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?

• Решение:
• к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28),

к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75)

• к1+к2 = 5+4 = 9

Правило произведения

• Если элемент x можно выбрать n x способами и если после его выбора элемент y можно выбрать n y способами, то выбор упорядоченной пары (x, y) можно осуществить n x ∙ n y способами.

Синий и рыжий

Выбираем пару шаров

Nx ∙N y =4∙5=20 способов

N x =4

N y =5

• В магазине "Все для чая"" есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

• 5*3=15

Пример 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

Решение: N= 5х5 = 25 (Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)

б) Сколько среди них чисел, кратных 5?

Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.

На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.

N= 5 х1 =5

• . Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.

• а ) Сколько всего стран могут использовать такую символику?

• Решение : Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N= 4х3х2х1=24

• б ) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

• Решение : Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12

• . Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом?

• Решение : Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.

• Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов

Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего

4х2х4х3х2х1=192 способами.

• По правилу сложения 48+192= 240 способов

Определите n (общее количество объектов) и m (сколько объектов выбираем)

ПОРЯДОК ВАЖЕН?

НУЖНО ВЫБРАТЬ ВСЕ n ЭЛЕМЕНТОВ

ПОВТОРЕНИЯ ЕСТЬ?

СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

СОЧЕТАНИЯ

Повторения есть

Повторения есть

Размещения

Перестановки без повторений

• Перестановками без повторений из n различных элементов называются все возможные последовательности этих n элементов. Число перестановок без повторений из n элементов равняется

по определению

Перестановки без повторений

6 различных перестановок

Задача 19 . Даны цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.

Примеры: 1234567, 2354167, 7546321 .

Перестановка-упорядоченное множество.

Число перестановок из n элементов вычисляют по формуле P n =n! .

По условию n=7

Так из 7 цифр можно 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 различных чисел.

• Перестановки с повторением из n элементов k типов
• число элементов 1-го типа n 1 ; число элементов 2-го типа n 2 ; …; число элементов k -го типа n k ,
• все возможные последовательности исходных n элементов. Число перестановок с повторениями обозначают
• подсчитывают так:

n=n 1 +n 2 = 2+1 = 3

n 2 = 1

n 1 = 2

3 различные перестановки

• Дворовая футбольная команда выбирает капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать, если в команде 11 человек?

• Сколько различных гирлянд можно сделать, если у нас 5 красных, 7 синих и 4 желтых светодиода?

Даны цифр: 1,2,2,3,3,3,4,. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.

Примеры: 1223334, 4232331,2233314.

Некоторые числа при перестановке одинаковых цифр не меняются.

По условию n = 7, n1=2 , n2 =3

Размещения

(выборки)

• Размещениями без повторений из n различных элементов по m m n , которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.
• Число размещений без повторений из n элементов по m обозначается символом

Выбираем два шара

Порядок выбора важен!

6 различных выборок

• Из группы в 15 человек выбирается 4 участника эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

• из элементов k типов по m элементов (k и m m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.

8 вариантов выборок

• Назовем натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных "симпатичных" чисел?
• k=5 порядок важен

• Сочетаниями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n , которые отличаются друг от друга составом элементов.

Выбираем два шара

Порядок выбора не важен!

3 сочетания

• Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

• Сочетаниями с повторениями из элементов k типов по m элементов (m и k могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличают друг от друга составом элементов.

4 варианта сочетаний

В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики. Все цветы на внешний вид одинаковы. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы?

Решение Так как по условию задачи все цветы на внешний вид одинаковы, то мы получаем формулу без повторений. Вы выбираем цветы в букет, порядок выбора не важен, следовательно, мы получаем формулу сочетаний без повторений: два типа цветов, выбираем три цветка.

• Один выбор (анализ) элементов или несколько? Если один, то см. п.3
• Каким союзом варианты выбора (анализа) соединяются? «И» – правило произведения, «или» – правило суммы.

Для каждого выбора задаются следующие вопросы:

• Все элементы используются? Если «да», то это перестановки. Переходим к п. 5.
• Порядок выбора элементов важен? Если «да», то это размещения, «нет» – сочетания.
• Есть ли одинаковые элементы? Если «да» – то формула с повторениями, «нет» – без повторений.

Сколько различных гирлянд можно сделать из 10 светодиодов разного цвета?

При замыкании линии в кольцо перестановки, являющиеся циклическими сдвигами относительно друг друга, становятся одинаковыми. Возьмем, например, следующую перестановку и посмотрим, сколько других перестановок явлюяются ее циклическим сдвигом: 1. ккккксссссссжжжж 2. кккксссссссжжжжк 3. ккксссссссжжжжкк... 15. жжккккксссссссжж 16. жккккксссссссжжж Следовательно, все перестановки разбиваются на группы по 16 цепочек в группе. Итак, число кольцевых гирлянд будет

• Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?

• У людоеда в подвале томятся 25 пленников.
• а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?
• б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Решение 25*24*23 = 13800 способов.

Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали 3·2·1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число 13800: 6 = 2300.

Волонтеры разделились на две равные группы для розыска заблудившегося ребенка. Среди них только 4 знакомы с местностью. Каким числом способов они могут разделиться так, чтобы в каждую группу вошло 2 человека, знающих местность, если всего их 16 человек?

Решение Мы делим всех волонтеров на две равные группы, то есть выбираем участников первой группы, а все остальные переходят в другую группу. Один выбор. Теперь рассмотрим этот выбор первой группы. Выбор состоит из выбора волонтеров, знающих местность, и выбора волонтеров, незнающих местность. Следовательно, будем соединять эти два числа правилом произведения . Найдем число выборов волонтеров, знающих местность. Всего таких волонтеров 4 человека. Нам нужно 2. Порядок выбора не важен. Сочетания без повторений.

Найдем число выборов волонтеров, незнающих местность. Всего их 16-4=12 , выбираем шесть человек (ровно половину). Общее число выборов:

Решение Переведем данное число из десятичной системы счисления в двоичную. 256 10 =100000000 2 Следовательно, числа меньше данного состоят из восьми, семи, шести, пяти, четырех, трех, двух и одного разряда.

1) Рассмотрим восьмиразрядные числа. 1ХХХХХХХ. Так как мы точно знаем сколько нулей и единиц, то мы используем формулу перестановки с повторениями.

2) Рассмотрим семиразрядные числа. Очевидно, что такие числа не удовлетворяют условию задачи, так как не могут состоять из одинакового числа единиц и нулей. Аналогичный вывод можно сделать о пятиразрядных, трехразрядных и одноразрядных числах.

3) Рассмотрим шестиразрядные числа. Рассуждая аналогично п.1 получаем:

4) Четырехразрядные числа.

5) Двухразрядное число только одно 10 2

Итак, у нас может быть или восьмиразрядное число, или шестиразрядное число, или четырехразрядное число, или двухразрядное число. Правило суммы.

• В коробке находятся 16 шариков – 4 красных, 4 синих и 8 черных. Из коробки наугад вынули два шарика. Какое из перечисленных сообщений несет в себе наибольший объем информации?
• Один из вынутых шариков – красного цвета, а другой – синего;
• Один из вынутых шариков – синего цвета, а другой – черного;
• Оба вынутых шарика красного цвета;
• Оба вынутых шарика черного цвета;
• Цвета вынутых шариков отличаются друг от друга;
• Вынуты шарики одного и того же цвета.

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

Решение

В этой задаче нам обязательно нужно использовать цифры 2, 4 и 5. Но они могут стоять на разных местах и в разном порядке. У нас три "важные" и две "неважные" цифры в числе - два типа цифр. Это перестановки с повторениями.

Теперь посчитаем сколько различных перестановок "важных" цифр между собой. Это перестановки без повторений

Итак у нас 60 различных перестановок. Теперь посчитаем, сколько различных "неважных" цифр может быть в каждой из этих перестановок. Мы выбираем две "неважные" цифры из шести. Порядок выбора важен . Это размещения без повторений .

• Решение:
• Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 19 = 380.
• Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Комбинаторика и вероятность на ЕГЭ МОУ № 12 г. о.Жуковский Учитель математики Чернобай Н.В.

Эпиграф урока: . . «Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр

Классическое определение вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт) ; выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Пример: В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка.

Классическое определение вероятности Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки – равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - неравновозможны. Появление белого шара имеет больше шансов..

Классическое определение вероятности Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй

Классическое определение вероятности Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. События образующие полную группу называют элементарными.

Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу. P(A) = m/n Классическое определение вероятности

Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики. Задача №1: Сколько двузначных чисел можно составить используя цифры 7 ; 8; 9 (цифры могут повторяться) ? В данном случае легко перебрать все комбинации. 77 78 79 88 87 89 99 97 98 9 вариантов

Задача №2: Сколько пятизначных можно составить используя цифры 7 ; 8; 9 (цифры могут повторяться) ? Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен. Решим задачу иначе. На первом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На втором месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На третьем месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На четвертом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На пятом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. Комбинаторное правило умножения

Задачи открытого банка

№ 283479 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные - из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. 28.04.17 Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады К-во благоприятных событий: m = ? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m =50-(24+13)=13 Соответствует количеству всех гимнасток. n= 50

№ 283479 В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. 28.04.17 Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает. К-во благоприятных событий: m = ? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству исправных насосов m =1400-14=1386 Соответствует количеству всех насосов. n= 1400

№ 283639 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. 28.04.17 Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной. К-во благоприятных событий: m = ? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству качественных сумок. m =190 Соответствует количеству всех сумок. n= 190+8

№ 283445 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. 28.04.17 Опыт: выпадают три игральне кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m = ? 331 313 133 223 232 322 511 151 115 412 421 124 142 214 241 К-во всех событий группы n=? 1- я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов

28.04.17 № 283471 В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка? К-во благоприятных событий m = ? К-во всех событий группы n=? m= 1 Четыре раза выпала решка. 1- й раз - 2 варианта 2-й раз - 2 варианта 3-й раз - 2 варианта 4-й раз - 2 варианта

Вероятность и правило произведения. Решение: Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания: 1 карман 2 карман 5 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 1 Р = (2 /6 * 4 /5 * 3 /4) * 3 = 3 /5 = 0 , 6 « 5 » « 1 » « 1 » В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах.

Вероятность и правило произведения. Сочетания Решение: Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания: 1 карман 2 карман 5 5 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 ИЛИ наоборот 1 5 5 1 1 1 Р = (2 /6 * 1/5 * 4/4) * 2 = 2/5 = 0 ,4 « 5 » « 5 » « 1 » В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе пятирублевые монеты лежат в одном кармане.

Работа в группах 1 группа 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. 2. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. 2 группа 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых 2.В среднем из 1300 садовых насосов, поступивших в продажу, 13 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Домашнее задание 1) Составить и решить по 3 задачи по данной теме. 2) №№ 282854, 282856, 285926 из открытого банка задач mathege .