Решение задания 16 профильный уровень. Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения. Примеры заданий ЕГЭ

В равнобедренной трапеции ABCD AD BC, AD = 21, AB = 10, BC = 9. Диагонали AC и BD разбивают трапецию на четыре перекрывающихся треугольника DAB, ABC, BCD, CDA. В каждый треугольник вписаны окружности w1, w2, w3, w4 соответственно, центры которых расположены в точках O1, O2, O3, O4.

А) Докажите, что четырёхугольник O1O2O3O4 - прямоугольник.

Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность со, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.

А) Докажите, что ВА - биссектриса угла КВС.

Б) Отрезок ВС пересекает окружность w в точке Е. Найдите BE, если АС = 12.

Биссектриса CL угла C треугольника ABC делит пополам угол между медианой CM и высотой CH, проведёнными из той же вершины.

А) Докажите, что треугольник ABC - прямоугольный.

Б) Найдите углы треугольника ABC, если S_(CHL)/S_(CHM) = 1/3

Дан треугольник ABC, в котором расположены три равные окружности ω_(1), ω_(2), ω_(3), с центрами в точках I_(1), I_(2), I_(3), проходящие через общую точку T. Окружность ω_(1) касается сторон AB и AC, окружность ω_(2) касается сторон BA и BC, окружность ω_(3) касается сторон CB и CA. Обозначим I - центр окружности, вписанной в треугольник ABC, а O - центр окружности, описанной около треугольника ABC.

А) Докажите, что точки I, T, O лежат на одной прямой.

Б) Найдите радиус трёх равных окружностей, если стороны треугольника ABC соответственно равны 13, 14, 15.

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, равными соответственно а и c, c < а, боковая сторона BC перпендикулярна основаниям и равна b. Из точки P стороны AD, делящей её так, что AP: PD = n: m, n > = m, к этой стороне проведён перпендикуляр, пересекающий сторону BC в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника APQB, PQCD

А) Докажите, что сумма углов А, В, С, D, E в вершинах произвольной 5-конечной звезды равна 180 градусов (рис.1).

Б) Найдите площадь 5-конечной звезды, вершины которой совпадают с пятью вершинами правильного шестиугольника, если известно, что сторона последнего равна 6 (рис.2).

Ларин 16) Точка E - середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

А) Докажите, что CO=KO.

Б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.

В параллелограмме ABCD точка Е - середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке Р. АB=PD.

А) Докажите, что отрезок ВЕ перпендикулярен диагонали АС.

Б) Найдите площадь параллелограмма, если АВ = 2 см, ВС = 3 см.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложен отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке М.

А) Докажите, что AM - биссектриса угла ВАС.

Б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника АВС равна 200 и известно отношение АС: АВ = 2:3.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C1 и В1 соответственно.

А) Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику AB1C1.

Б) Вычислите радиус данной окружности, если угол A = 150°, ВС = 6 и площадь треугольника AB1C1 в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.

В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и медиана CE, а точки K и L являются проекциями на сторону AC точек D и E соответственно, причем AK=4KC, AL=(3/7)LC.

А) Докажите, что AB=AC.

Б) Найдите отношение AD:CE.

Диагонали АС и СЕ правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что АМ: АС = СN: СЕ и точки В, М и N лежат на одной прямой.

А) Докажите, что точки В, О, N и D лежат на одной окружности (точка О - центр шестиугольника)

Б) Найдите отношение АМ: АС.

Дан треугольник АВС. Серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекается с биссектрисой угла ВАС в точке К, лежащей на стороне ВС.

А) Докажите, что АС^2 =ВС*СК.

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АКС, если sinВ = 0,8 и сторона АС = 30.

В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ AC разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и AB.

А) Докажите, что луч DB - биссектриса угла ADC.
б) Найдите AB, если известны длины диагоналей трапеции: BD=8 и AC=5.

Дана окружность. Продолжения диаметра АВ и хорды РК пересекаются под углом 30 градусов в точке С. Известно, что СВ:АВ=1:4; АК пересекает ВР в точке Т.

А) Докажите, что АР:АТ=3:4.

Б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, Р и К, если радиус окружности равен 4.

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ:В1М=1:3. Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость бета.

А) Докажите, что плоскость бета проходит через середину ребра AA1.

Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью бета, если известно, что АВ=12.

В треугольник АВС, в котором длина стороны АС меньше длины стороны ВС, вписана окружность с центром О. Точка В1 симметрична точке В относительно СО.

А) Докажите, что А, В, О и В1 лежат на одной окружности.

Б) Найдите площадь четырехугольника АОВВ1, если АВ=10, АС=6 и ВС=8.

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон АВ и CD в точках М и N соответственно. Известно, что АМ=8МВ и DN=2CN.

А) Докажите, что AD=4BC.

Б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен sqrt(6)

Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны АВ в точке Т, а стороны AD в точке Р. Отрезки СТ и СР пересекают окружность в точках М и N соответственно. Сторона квадрата равна sqrt(10).

А) Докажите, что прямая ТР параллельна прямой MN.

В трапеции ABCD точка E - середина основания AD, точка М - середина стороны АВ.

А) Докажите, что площади четырёхугольника АМОЕ и треугольника COD равны, если О - точка пересечения отрезков СЕ и DM.

Б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника АМОЕ, если ВС = 5, AD = 7.

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром О, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке Н, точка Q - середина MN.

А) Докажите, что четырёхугольник NQOH - параллелограмм.

Б) Найдите KN, если угол LKN = 75° и LM = 4.

Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая окружность проходит через центр О большей. Диаметр ВС большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке М, отличной от точки А. Лучи АО и АМ вторично пересекают большую окружность в точках Р и Q соответственно. Точка С лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку Р.

А) Докажите что прямые PQ и ВС параллельны

Б) Известно, что sin AOC = sqrt(15)/4. Прямые РС и AQ пересекаются в точке К. Найдите отношение QK:KA

Две окружности с центрами O1 и O1 пересекаются в точках А и В, причем точки О1 и О2 лежат по разные стороны от прямой АВ. Продолжение диаметра СА первой окружности и хорды СВ этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.

А) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.

Б) Найти AD, если углы DAE и BAC равны, радиус второй окружности в четыре раза больше радиус первой и АВ=2.

Точка М - середина гипотенузы АВ треугольника АВС. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет ВС в точке N.

А) Докажите, что угол CAN = углу CMN

Б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tgBAC = 4/3

В треугольнике АВС точки А1, В1 и С - середины сторон ВС, АС и АВ соответственно, АН-высота, угол BAC = 60°, угол ВСА = 45°.

А) Докажите, что точки А1, В1, С1 и Н лежат на одной окружности.

Б) Найдите A1H, если ВС = 2sqrt(3).

В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка РQ равна 2sqrt(2)

А) Доказать, что треугольники QBP и СВА подобны.

Б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке В. Через точку В проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке А, а большую в точке С.
а) Докажите, что ВС=2АВ.
б) Найдите ВС, если АС=3sqrt(2).

Окружность касается прямых АВ и ВС соответственно в точках D и Е. Точка А лежит между В и D, а тока С – между В и Е. Точки А, D, Е, С лежат на одной окружности.

A) Доказать, что треугольники АВС и DВЕ подобны.
б) Найти площадь ABC, если АС = 8 и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 1.

В квадрате ABCD, со стороной равной «а» , точки P и Q – середины сторон AD и CD соответственно. Отрезки BP и AQ пересекаются в точке R

A) доказать, что около четырехугольников BCQR и DPRQ можно описать окружности
б) Найти расстояние между центрами этих окружностей.

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка М, отличная от вершин, что МС=АС. Точка Р симметрична точке А относительно прямой ВС.

А) Докажите, что около четырехугольника ВМСР можно описать окружность.
Б) Найдите длину отрезка МР, если известно, что АВ=6, ВС=5, СА=3

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответсвенно точки K, L и M, причем AK:KB=2:3, BL:LC=1:2, CM:MA=3:1.

А) Докажите, что площади треугольников BKL и KLM равны.
б) В каком отношении отрезок KL делит отрезок BM?

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Из точки D параллельно основанию проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке K.

A) Докажите, что треугольник AKD - равнобедренный
б) Найдите длину отрезка AD, если AC=5, AB=BC=20

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность.

А)Докажите, что её точка касания с прямой совпадает с точкой касания одной из первых двух окружностей.

Б)Найдите радиус третьей окружности.

В треугольнике ABC со сторонами AB=16, AC=24, CB=18, параллельно стороне AC проведена средняя линия MN (точка M находится на стороне AB), на которой взята точка K, так, что КМ равно 5 целых 1/3.

1. Доказать, что треугольники KMB и ABC подобны
2. Найти расстояние от точки K до точки B

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М. Вторая окружность касается основания АС и продолжений боковых сторон.

А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а ВМ=8.

К окружности, вписанной в квадрат АВСD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и АD в точках М и Р соответственно.

А) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.
Б) Прямая МР пересекает прямую СD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение ВЕ:ВМ, если АМ:МВ=1:3.

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C - вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

А) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.

Б) Пусть N - точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

А) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

Б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=3 и MK=12.

Хорда АВ окружности параллельна касательной, проходящей через точку С, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку С и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке Р.

А) Докажите, что треугольник АВР равнобедренный.

Б) Найдите отношение, в котором хорда АВ делит диаметр СР, если известно, что угол APB = 150 градусов.

В прямоугольном треугольнике АВС известно, что ВС=2*АС. На гипотенузе АВ вне треугольника построен квадрат АВEF. Прямая СЕ пересекает АВ в точке О.

А) Докажите, что ОА:ОВ=3:4.
Б) Найдите отношение площадей треугольников АОС и ВОЕ.

На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки Е и Р, причем АЕ:ЕР:РС=1:2:1. Прямые DE и DP пересекают стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно.

А) Докажите, что КМ || АС.

Б) Найдите площадь параллелограмма АВСD, если известно, что площадь пятиугольника ВКЕРМ равна 30.

Дан квадрат АВCD. Точки К, L, M - середины сторон АВ, ВС и CD соответственно. АL пересекает DK в точке Р; DL пересекает АМ в точке Т; АМ пересекает DK в точке О.

А) Докажите, что точки Р, L, T, O лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если АВ=4.

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

А) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

Б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q - середина CD.

А) Докажите, что четырёхугольник DQOH - параллелограмм.

Б) Найдите AD, если ∠BAD=60° и BC=2.

В неравнобедренном треугольнике АВС угол BAC = 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность θ_(1) в точке Е. Окружность θ_(2), описанная около треугольника АDE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.

А) Докажите, что центр окружности θ_(1) лежит на прямой FB.

Б) Найдите радиус окружности θ_(2), если известно, что АС=6, AF=2.

Две окружности касаются внешним образом в точке L. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй - в точке В. Прямая BL пересекает первую окружность в точке D, прямая AL пересекает вторую окружность в точке С.

А) Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника ALB, если известно, что радиусы окружностей равны 8 и 2.

В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами АВ = 2; АС = 6 вписан квадрат ADEF.

В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами АВ = 3; АС = 5 вписан квадрат ADEF.

А) Докажите, что треугольники BDE и EFC подобны.
б) Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадрата ADEF.

Вневписанная в треугольник АВС окружность касается его боковой стороны и продолжения основания АС.

А) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте ВН треугольника АВС.

Б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 4, а АС*АВ = 30.

Окружность ω с центром в точке О касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB и AC. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке Е касается стороны BC в точке K.

А) Докажите, что ВК=СМ.

Б) Найдите площадь четырехугольника ОКЕМ, если известно, что АС=5, ВС=6, АВ=4.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины А опущены перпендикуляры AF, АН, АР и AQ на прямые DE, BE, CD и ВС соответственно.

А) Докажите, что угол FAH = угол PAQ.
б) Найдите АН, если AF = а, АР = b и AQ = с.

Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причём АВ1:В1С = АС1:С1В. Прямые BB1 и CCi
пересекаются в точке О.

А) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

Б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника АВС, если известно, что AB1:B1C= АC1:C1В = 1:4 .

В окружность с центром в точке О вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. На большем катете ВС взята точка D так, что AC=BD. Точка Е - середина дуги АСВ.

А) Докажите, что угол CED = 90° .

Б) Найдите площадь пятиугольника АОDEC, если известно, что АВ=13, АС=5.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольник ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4; радиус описанной окружности около треугольника PQW равен 10, PQ=16, QW=12.

А) Доказать, что треугольник PQW-прямоугольный.

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

А) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

Б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.

Точка К лежит на диаметре АВ окружности с центром О. С и D - точки окружности, расположенные по одну сторону от АВ, причем угол OCK = углу ODK.

А) Докажите, что угол CKB = углу DKA.

Б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, С, D, если известно, что OK = 3,6, BK = 9,6, угол OCK = углу ODK = 30°.

В треугольнике АВС ВА=8, ВС=7, угол B=120°. Вписанная в треугольник окружность w касается стороны АС в точке М.

А) Докажите, что АМ=ВС.

Б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности w.

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

А) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающийся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в нее окружности.

К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В - точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.

А) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.

Б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.

Окружность с центром О вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром O1 также вписана в этот угол и проходит через точку О.

А) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.

Б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 2sqrt(3).

В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опустили перпендикуляр АН. На стороне АВ отмечена точка Е так, что прямые CD и СЕ перпендикулярны.

А) Докажите, что прямые ВН и ЕD параллельны.

Б) Найдите отношение ВН:ED, если угол BCD=135 градусов

В выпуклом четырехугольнике АВСD точки К, М, Р, Е - середины сторон АВ, ВС, СD и DA соответственно.

А) Докажите, что площадь четырехугольника КМРЕ равна половине площади четырехугольника АВСD.

Б) Найдите большую диагональ четырехугольника КМРЕ, если известно, что АС=6, ВD=8, а сумма площадей треугольников АКЕ и СМР равна 3sqrt(3).

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.

А) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

Б) Найдите площадь треугольника COD, где O - центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD - диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5, а BC=5sqrt(2)

Дан треугольник АВС со сторонами АВ=5, ВС=9 и АС=10.

А)Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС.
Б)Найдите биссектрису треугольника АВС, проведенной из вершины А.

А) Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, на которые он делится высотой, проведённой к гипотенузе, равны 4 и 5.

Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.

А) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DКС, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 9.

В равнобокую трапецию вписана окружность.

А) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции.

(Средним геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения sqrt(ab))

Б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.

А) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

Б) Найдите площадь треугольника COD, где O - центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD - диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5, а BC=5√2

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.

А)Докажите, что ∠ВОС+∠AOD=180°
Б)Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что АВ=CD, а площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 8/25 площади трапеции ABCD.

Биссектриса угла С трапеции ABCD пересекает основание AD в точке М.

А) Докажите, что биссектриса угла D проходит через середину отрезка СМ.

Б) Найдите отношение оснований трапеции, если сторона AD
перпендикулярна стороне АВ и известно, что AM:MD = 1:2 и АВ:CD = 4:5.

На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN:NC = 1:3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части.

А) Докажите, что точка M - середина стороны АD параллелограмма.

Б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АN, АС, BM и BD равна 16.

Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом. A1A2 и B1B2 - их общие внешние касательные (A1 и B1 - точки касания ω1, A2 и B2 - точки касания с ω2).

А) Докажите, что расстояние между хордами A1B1 и A2B2 равно среднему гармоническому диаметров окружностей. (средним гармоническим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 2/(1/a + 1/b))

Б) Найдите площадь четырехугольника A1A2B2B1, если радиусы окружностей равны соответственно 9 и 4.

Точка О - центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I - центр вписанной в него окружности, H - точка пересечения высот. Известно, что

Угол BAC = угол OBC + угол OCB

А) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

Б) Найдите угол OIH, если угол ABC = 55 градусов

В треугольнике ABC‍ проведены биссектрисы AA‍1‍ и CC‍1,‍ K и М -‍ основания перпендикуляров, опущенных из точки B‍ на прямые AA‍1‍ и CC‍1.‍

А) Докажите, что MK||AC.‍

Б) Найдите площадь треугольника KBM, если известно, что AC=10, BC=6, AB=8.

Окружность с центром O‍ касается боковой стороны AB‍ равнобедренного треугольника ABC,‍ продолжения боковой стороны AC‍ и продолжения основания BC‍ в точке N.‍ Точка M -‍ середина основания BC.‍

А) Докажите, что AN = OM.‍

Б) Найдите OM,‍ если стороны треугольника ABC‍ равны 10, 10 и 12.

На сторонах AB,‍ BC,‍ CD‍ и AD‍ параллелограмма ABCD‍ отмечены точки K,‍ L,‍ M‍ и N‍ соответственно, причём ‍AK/KB=‍BL‍/LC=‍CM‍/MD=‍DN‍/NA.‍

А) Докажите, что четырёхугольник KLMN -‍ параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.‍

Б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN‍ и ABCD,‍ если известно, что ‍AK/KB=2.‍

Дан треугольник ABC со сторонами AB=4, BC=6 и АС=8.

А) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС.

Б) Найдите длину биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины А.

В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH - высота трапеции.

А) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.

Б) Найдите диагональ AC, если известно, что средняя линия трапеции равна 2sqrt(7), а угол AOD=120 градусов, где O - центр окружности, вписанной в трапецию, а AD - большее основание.

Две окружности имеют общий центр О. На окружности большего радиуса выбрана точка F.

А) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки F до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки F, ни от выбора диаметра.

Б) Известно, что радиусы окружностей равны 10 и 24. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка F, тангенс угла F этого треугольника равен 1/4.

В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD, Р – точка пересечения его диагоналей, АВ=CD=5, AD>BC. Высота, опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна 25/2.

А) Докажите, что ABCD – равнобедренная трапеция
Б) Найдите стороны AD, BC и радиус окружности R.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М–середина АB.

А) Докажите, что CM=(1/2)DK
б) Найдите расстояние от точки М до центра квадратов, если АС=6, ВС=10, угол АСВ=30 градусов

Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.

А) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая - боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности.

А) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке Р. Докажите, что AP/PD = sinD.

Б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 5/2 и 1/2

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML - в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.

А) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK=16.

На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q, причем BP=PQ=QD.
а) Докажите, что прямые AP и AQ проходят через середины M и N сторон BC и CD соответственно.
б) Найдите отношение площади пятиугольника CMPQN к площади параллелограмма ABCD.

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 24, AC = 15 и BC = 18. На сто­ро­не BC взята точка D, а на от­рез­ке AD - точка O, при­чем CD = 6 и AO = 3OD. Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до точки пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти с пря­мой AB.

Окружности с центрами O1 и O2 разных радиусов пересекаются в точках A и B. Хорда AC большей окружности пересекает меньшую окружность в точке M и делится этой точкой пополам.
a) Докажите, что проекция отрезка O1O2 на прямую AC
в четыре раза меньше AC.
b) Найдите O1O2, если известно, что радиус окружностей равны 10 и 15, а AC = 24.

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM=2R и СМ=3R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R=2.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC (с основанием AC), касается его боковых сторон в точках M и N. Точка M делит боковую сторону на отрезки 10 и 7, считая от основания треугольника ABC.

А) Докажите, что треугольники MBN и ABC подобны.

Б) Найдите отношение площадей треугольника MBN и трапеции AMNC.

Две окружности касаются внутренним образом в точке А, при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда ВС большей окружности касается меньшей окружности в точке R. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках D и Е соответственно.

А) Докажите, что DE параллельно ВС.

Б) L - точка пересечения RA и DE. Найдите AL, если радиус большей окружности 17, а ВС = 30.

Окружность, построенная на стороне AD‍ параллелограмма ABCD‍ как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что ABCD -‍ ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону AB‍ в точке M,‍ причём AM: MB = 2: 1.‍ Найдите диагональ AC,‍ если известно AD = sqrt(6)

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что АС = ЗMB.

А) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и СС1, если известно, что АС = 30.

Сторона CD‍ прямоугольника ABCD‍ касается некоторой окружности в точке M.‍ Продолжение стороны AD‍ последовательно пересекает окружность в точках P‍ и Q,‍ прямая BC‍ касается окружности, а точка Q‍ лежит на прямой BM.‍
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.‍
б) Известно, что CM = 5‍ и CD = 8.‍ Найдите сторону AD.‍

На отрезке BD‍ взята точка C.‍ Биссектриса BL‍ равнобедренного треугольника ABC‍ с основанием BC‍ является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD‍ с основанием BD.‍
а) Докажите, что треугольник DCL‍ равнобедренный.
б) Известно, что cos ∠ABC = ‍1/3.‍ В каком отношении прямая DL‍ делит сторону AB?‍

Отрезок, соединяющий середины M‍ и N‍ оснований соответственно BC‍ и AD‍ трапеции ABCD,‍ разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD‍ равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 2, а меньшее основание BC‍ исходной трапеции равно 6. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB,‍ основания AN‍ трапеции ABMN‍ и вписанной в неё окружности.

В 16 задании профильного уровня ЕГЭ по математике - задача геометрическая, а именно планиметрическая. Уровень сложности высокий по шкале ЕГЭ и школьной геометрии, поэтому приступать к этому заданию необходимо с хорошей подготовкой. Я рекомендую приступать к задаче тем, кто более чем на 5 знает геометрию. Итак, приступим к рассмотрению одного из вариантов.

Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй - в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Алгоритм решения:

1. Выполняем рисунок.
2. Используем свойство касательной для определения вида треугольника
3. Показываем, что AD и BC параллельны.

1. Вводим определенность относительно радиусов окружностей. И доказываем подобие треугольников ВКС и АКD.
2. Определяем отношение площадей.
3. Определяем искомую площадь.

Решение:

1. Выполняем рисунок, учитывая условие задачи.

Пусть О 1 и О 2 центры данных окружностей, а М – точка пересечения общей касательной и касательной, проведенной в к окружностям в точке К.

2. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM=KM и. KM=BN. Треугольник у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, - прямоугольный.

3. Вписанный угол ∠AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD Значит, AD⊥AB. Аналогично получаем, что BC⊥AB Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

1. Пусть радиус первой окружности равен 4, тогда радиус второй 1.

Рассмотрим треугольники BKC и AKD .

и общий угол.

По признаку подобия. Эти треугольники подобны.

Пусть , тогда

2. У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, то есть Аналогично, Площадь трапеции ABCD равна 25S

Вычисляем площадь трапеции ABCD Для этого опускаем на AD перпендикуляр O2H Его длина равна высоте трапеции. Определяем его из треугольника O2HO1 по теореме Пифагора:

Имеем: 25S=20 откуда S=0,8

Ответ: 3,2.

Второй вариант (Из Ященко,№1)

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.

б) Найдите угол ЛВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

Алгоритм решения:

1. Выполняем рисунок, исходя из условия.
2. Устанавливаем соотношения между величинами.
3. Делаем вывод

1. Проводим перпендикуляр к стороне ВС.
2. Устанавливаем необходимые соответствия.
3. Определяем искомую величину угла.

Решение:

1. Выполняем рисунок, исходя из условия.

2. Прямые АВ и CD по условию пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой L. Тогда треугольник BLC подобен ALD, причем, коэффициент подобия равен 2, потому как ВС = 2AD. Значит, А и D являются серединами сторон BL и CL соответственно.

Тогда AM и DM - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника BLC. Из этого вытекает, что М - центр окружности, описанной около него окружности.

3. Значит, BM = CM как радиусы этой окружности

1. Пусть Н - середина ВС, тогда МН является серединным перпендикуляром к ВС. Тогда треугольники ВНМ и СНМ являются равнобедренными и прямоугольными. Потому ∠BCM=90° .

Среднее общее образование

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Математика

Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения

Разбираем задания и решаем примеры с учителем

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).

Минимальный порог - 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

• часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
• часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1) Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 - 172 = 5 (куб м)

2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.

Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.

6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.

Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.

Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:

Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:

S = В +	Г
	2

где В = 10, Г = 6, поэтому

S = 18 +	6
	2

Ответ: 20.

Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях

Задание № 4 - задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.

Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.

Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :

у которых все вершины красные.

3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.

10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.

11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.

Ответ: 10.

Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).

Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим

2 3 + x	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.

Ответ: –2.

Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.

Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.

Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x – 13, где k 1 = 4.

2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:

3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.

Ответ: –0,25.

Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.

Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:

преобразования числовых рациональных выражений;

преобразования алгебраических выражений и дробей;

преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;

действия со степенями;

преобразование логарифмических выражений;

1. преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.

Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и

3π	< α < π.
4

Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Значит, tg 2 α = ± 0,5.

3) По условию

3π	< α < π,
4

значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.

Ответ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только

Изобразим решение неравенства графически:

Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.

Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.

Решение: Обозначим a 1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S 16 = 560 – общее количество задач, a 16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Ответ: 65.

Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.

Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.

Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).

2) Найдем производную функции:

4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума x = –8.

Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11 Скачать бесплатно методические пособия по алгебре

Задание № 13 -повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3 (2cosx ) =	2	⇔		2cosx = 9	⇔		cosx =	4,5	⇔ т.к. |cosx | ≤ 1,
	log 3 (2cosx ) =	1			2cosx = √3			cosx =	√3
		2							2

то cosx =	√3
	2

	x =	π	+ 2πk
		6
	x = –	π	+ 2πk , k ∈ Z
		6

б) Найдём корни, лежащие на отрезке .

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни

11π	и	13π	.
6		6

Ответ: а)	π	+ 2πk ; –	π	+ 2πk , k ∈ Z ; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Задание № 14 -повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.

Тогда расстояние между хордами составляет либо

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.

б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:

1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.

2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].

3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].

Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

Решение: а)

1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.

2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.

3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x (√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Ответ: 24 – 12√3.

Задание № 17 - задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание - текстовая задача с экономическим содержанием.

Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство

(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.

Ответ: 24.

Задание № 18 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.

При каких a система неравенств

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
	y + a ≤ |x | – a

имеет ровно два решения?

Решение: Данную систему можно переписать в виде

	x 2 + (y – a ) 2 ≤ 1
	y ≤ |x | – a

Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а ). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y = | x | – a , причём последний есть график функции
y = | x | , сдвинутый вниз на а . Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.

Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,

Qr = 2a = √2, a =	√2	.
	2

Ответ: a =	√2	.
	2

Задание № 19 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.

Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.

б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .

в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.

Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27

значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.

Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.

в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.

Осталось проверить значения с 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.

Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.

________________

*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.

ЕГЭ по математике профильный уровень

Работа состоит из 19 заданий.
Часть 1:
8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности.
Часть 2:
4 задания с кратким ответом
7 заданий с развернутым ответом высокого уровня сложности.

Время выполнения - 3 часа 55 минут.

Примеры заданий ЕГЭ

Решение заданий ЕГЭ по математике.

Задача с решением:

В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ = 5 корней из 3, SC = 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.

Решение:

1. Поскольку SABC - правильная пирамида, то ABC - равносторонний треугольник, а остальные грани - равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5 sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.

2. Пусть D - середина BC, E - середина AS, SH - высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, EP - высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.

3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.

4. Поскольку пирамида правильная, точка H - это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH = 2 AD).

5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Треугольники AEP и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и AP = AH/2, и EP = SH/2.

7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDP (нас как раз интересует угол EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Тангенс угла EDP = EP/DP = 6/5,
Угол EDP = arctg(6/5)

Ответ:

В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек.
Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг.
Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям.
Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Маши было 30 рублей.
Сколько рублей останется у Маши после отправки всех сообщений?

В школе есть трехместные туристические палатки.
Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское).
Сколько часов поезд находится в пути?

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием - степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: - 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: - Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг - один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую - два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

ЕГЭ 2019 по математике задание 16 с решением

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 по математике

ЕГЭ по математике 2019 в формате pdf Базовый уровень | Профильный уровень

Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.

Математика: базовый | профильный 1-12 | | | | | | | | Главная

ЕГЭ 2019 по математике задание 16

ЕГЭ 2019 по математике профильный уровень задание 16 с решением

Прямоугольный треугольник ABC имеет периметр 54.
Окружность радиуса 6, центр которой лежит на катете ВС, касается прямых АВ и АС.
Найти площадь треугольника АВС.

Решение:

Пусть AC = AH = x, BH = y, BO = z.
Тогда периметр треугольника равен 2x+y+z+6 = 54.

Выразим x, y и z через угол альфа (а):

Из прямоугольного треугольника AHO:
x = 6/tg(a/2).
Из прямоугольного треугольника BHO:
y = 6 tg(a), z = 6/cos(a)

Итак, выражение для периметра становится таким:

12/tg(a/2)+6 tg(a)+6/cos(a)+6 = 54
1/cos(a) + 2/tg(a/2) + tg(a) = 8.

Тут удобно всё выразить через тангенс половинного угла:
(1+(tg(a/2)) 2)/(1-(tg(a/2)) 2) + 2/tg(a/2) + 2 tg(a/2)/(1-(tg(a/2)) 2) = 8.

Обозначим t = tg(a/2), получим
(1+t 2)/(1-t 2)+2/t+2t/(1-t 2) = 8

Путём несложных преобразований приводим это к виду
9t 2 - 9t + 2 = 0

(1) t1 = 1/3
(2) t2 = 2/3

Выражаем обратно x и z (y нам в принципе уже не нужен, поскольку площадь треугольника будет равна половине произведения катетов, т.е. x (z+6)/2. Хотя и y тоже по хорошему стоит вычислить и проверить, получается ли периметр равным 54).

Итак, для случая (1) имеем:
z = 6/cos(a) = 6/((1-1/9)/(1+1/9)) = 7.5
x = 6/tg(a/2) = 6/(1/3) = 18.
S = x (z+6)/2 = 121.5

Для случая (2) имеем:
z = 6/cos(a) = 6/((1-4/9)/(1+4/9)) = 15.6
x = 6/tg(a/2) = 6/(2/3) = 9.
S = x (z+6)/2 = 97.2

Ответ:

121.5, 97.2

ЕГЭ 2019 по математике задание 16

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояние 14 и 48. Найти радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Во-первых, заметим, что, как и обычно бывает в C4, тут может быть два случая - вторая окружность может касаться первой как изнутри (синие линии на рисунке), так и снаружи (красная линия).

Итак, AC = 14, BC = 48, угол C - прямой. Значит, AB является диаметром первой окружности, и он равен sqrt(14 2 +48 2) = 50.
Точка O, являясь центром окружности, делит AB пополам. Значит, перпендикуляры, опущенные из неё к отрезкам AC и BC, тоже делят их пополам.

Пусть O1 - центр второй окружности, а R - её радиус. Рассмотрим прямоугольный треугольник OKO1 с гипотенузой OO1 и катетами, параллельными лучам угла.

В "синем" случае:
OK = 24 - R
O1K = R - 7
OO1 = 25 - R

Пишем теорему Пифагора:
(24 - R) 2 + (R - 7) 2 = (25 - R) 2
Решаем, получаем два корня - 0 и 12. Нулевой случай нас не сильно интересует.

В "красном" случае всё то же самое, только OK = R - 24 и, что самое важное, OO1 = 25 + R.
И там, решая такое же уравнение, получим второй корень 112.

ЕГЭ 2017. Математика. Задание 16. Планиметрия. Садовничий Ю.В.

М.: 2017. - 144 с.

Данная книга посвящена задачам 16 ЕГЭ по математике (задача по планиметрии). Рассматриваются различные методы решения таких задач, также большое внимание уделяется графическим иллюстрациям. Книга будет полезна учащимся старших классов, учителям математики, репетиторам.

Формат: pdf

Размер: 1,4 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
§1. Теорема Пифагора и прямоугольные треугольники 5
Задачи для самостоятельного решения 11
§2. Теоремы синусов и косинусов, площадь треугольника... 13
Задачи для самостоятельного решения 24
§3. Биссектриса и медиана треугольника 28
Задачи для самостоятельного решения 35
§4. Пропорциональные отрезки и подобие треугольников... 37
Задачи для самостоятельного решения 47
§5. Леммы о площадях 50
Задачи для самостоятельного решения 63
§6. Углы в окружностях 67
Задачи для самостоятельного решения 82
§7. Касание окружностей, касание прямой и окружности...87
Задачи для самостоятельного решения 97
§8. Длины и площади, связанные с окружностью 100
Задачи для самостоятельного решения 109
§9. Четырехугольники 111
Задачи для самостоятельного решения 124
§10. Доказательство некоторых теорем и формул 127
Ответы к задачам для самостоятельного решения 137

Данная книга посвящена задачам, аналогичным задаче 16 ЕГЭ по математике (задача по планиметрии). Наряду с задачами 18 (задача с параметром) и 19 (задача, при решении которой используются свойства целых чисел) задача 16 является наиболее сложной в варианте. Это объясняется, в первую очередь, отсутствием у задач по планиметрии алгоритмических решений. Кроме того, сложности могут возникнуть уже при построении чертежа. В примере 5 параграфа 9 показано, как правильный чертеж может дать ключ к решению задачи. В настоящей книге рассматриваются различные методы решения планиметрических задач.
В первых трех параграфах представлены задачи, связанные с вычислением в треугольниках. Кроме общеизвестных теорем (теорема синусов и теорема косинусов) приводятся различные формулы для вычисления длин биссектрисы и медианы.
Параграфы 4 и 5 посвящены подобию треугольников и отношению площадей. Ключевую роль здесь играет теорема Менелая и так называемые «леммы о площадях». Такие задачи уже содержат меньше вычислений по сравнению с задачами первых трех параграфов.