Решу егэ призма. Базовая информация, которую стоит повторить. Регулярные занятия с математическим порталом «Школково» - залог качественной подготовки к единому государственному экзамену

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 стороны основания равны 4 , а боковые рёбра равны 10 . Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, A_1B_1 и A_1C_1.

Решение

Рассмотрим следующий рисунок.

Отрезок MN является средней линией треугольника A_1B_1C_1, поэтому MN = \frac12 B_1C_1=2. Аналогично, KL=\frac12BC=2. Кроме того, MK = NL = 10. Отсюда следует, что четырёхугольник MNLK является параллелограммом. Так как MK\parallel AA_1, то MK\perp ABC и MK\perp KL. Следовательно, четырёхугольник MNLK является прямоугольником. S_{MNLK} = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Ответ

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Объём правильной четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 24 . Точка K — середина ребра CC_1 . Найдите объём пирамиды KBCD .

Решение

Согласно условию, KC является высотой пирамиды KBCD . CC_1 является высотой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Так как K является серединой CC_1 , то KC=\frac12CC_1. Пусть CC_1=H , тогдаKC=\frac12H . Заметим также, что S_{BCD}=\frac12S_{ABCD}. Тогда, V_{KBCD}= \frac13S_{BCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac13\cdot\frac12S_{ABCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac{1}{12}\cdot S_{ABCD}\cdot H= \frac{1}{12}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}. Следовательно, V_{KBCD}=\frac{1}{12}\cdot24=2.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 6 , а высота — 8 .

Решение

Площадь боковой поверхности призмы находим по формуле S бок. = P осн. · h = 6a\cdot h, где P осн. и h — соответственно периметр основания и высота призмы, равная 8 , и a — сторона правильного шестиугольника, равная 6 . Следовательно, S бок. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 40 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в два раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение

Пусть a — сторона основания первого сосуда, тогда 2 a — сторона основания второго сосуда. По условию объём жидкости V в первом и втором сосуде один и тот же. Обозначим через H уровень, на который поднялась жидкость во втором сосуде. Тогда V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^{\circ}\cdot40= \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot40, и, V=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}\cdot H. Отсюда \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot40=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}\cdot H, 40=4H, H=10.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 2 . Найдите расстояние между точками A и E_1 .

Решение

Треугольник AEE_1 — прямоугольный, так как ребро EE_1 перпендикулярно плоскости основания призмы, прямым углом будет угол AEE_1.

Тогда по теореме Пифагора AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Найдём AE из треугольника AFE по теореме косинусов. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120^{\circ}. Тогда AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^{\circ}= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Отсюда, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 4\sqrt5 и 8 , и боковым ребром, равным 5 .

Решение

Площадь боковой поверхности прямой призмы находим по формуле S бок. = P осн. · h = 4a\cdot h, где P осн. и h соответственно периметр основания и высота призмы, равная 5 , и a — сторона ромба. Найдём сторону ромба, пользуясь тем, что диагонали ромба ABCD взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Призма \(A_1...A_nB_1...B_n\) .

\(\blacktriangleright\) Многоугольники \(A_1...A_n, \ B_1...B_n\) – основания;
отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2\) и т.д. – боковые ребра;
четырехугольники \(A_1B_1B_2A_2\) и т.д. – боковые грани, представляющие собой параллелограммы .

\(\blacktriangleright\) Высота призмы – расстояние между ее основаниями, или, что то же самое, – перпендикуляр, опущенный из вершины одного основания к плоскости другого основания.

\(\blacktriangleright\) Объем призмы \({\Large{V=S_{\text{осн}}\cdot h}}\) , где \(S_{\text{осн}}\) – площадь основания, \(h\) – высота.

\(\blacktriangleright\) Площадь боковой поверхности – сумма площадей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площадей оснований.

Задание 1 #3011

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCA_1B_1C_1\) – треугольная призма с основаниями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) . Отрезок \(A_1K\) перпендикулярен плоскости \((ABC)\) , \(A_1K = 3\) , причем точка \(K\) лежит на медиане \(AM\) треугольника \(ABC\) , \(AK = 0,2AB\) , \(AB = AC\) , \(BC = 10\sqrt{3}\) . Найдите угол между плоскостями \((ABC)\) и \((AA_1C)\) . Ответ дайте в градусах.

Построим \(KP\) перпендикулярно \(AC\) .

Тогда \(A_1P\) перпендикулярен \(AC\) по теореме о трех перпендикулярах и угол между плоскостями \((ABC)\) и \((AA_1C)\) равен \(\angle A_1PK\) .

Так как \(AB = AC\) и \(AM\) – медиана, то треугольник \(ABC\) равнобедренный и \(AM\) – высота. Треугольники \(APK\) и \(AMC\) подобны по двум углам (\(\angle PAK\) – общий), тогда \[\dfrac{PK}{MC} = \dfrac{AK}{AC} = 0,2= \dfrac{1}{5}.\] Так как \(MC = \dfrac{1}{2}BC = 5\sqrt{3}\) , то \(PK = \sqrt{3}\) . \[\mathrm{tg}\, \angle A_1PK = \dfrac{A_1K}{PK} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1PK = 60^{\circ},\] так как \(0^\circ< \angle A_1PK < 180^\circ\) .

Ответ: 60

Задание 2 #949

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – четырехугольная призма с основаниями \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) . Точка \(K\) – проекция точки \(A_1\) на плоскость \((ABC)\) , \(K\) лежит на \(AD\) , причём \(AK: KD = 1: 3\) . \(ABCD\) – параллелограмм со сторонами \(AD = a\) , \(AB = 2a\) , \(\angle BAD = 60^{\circ}\) , \(A_1A = 1,75a\) . Найдите \(\dfrac{V}{a^3}\) , где \(V\) – объем призмы.

\ По теореме Пифагора: \ Таким образом, \

Ответ: 3

Задание 3 #3041

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основаниях призмы \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) лежат правильные шестиугольники. \(AD\) и \(BF\) пересекаются в точке \(H\) , \(A_1H\) – высота призмы. Ребро \(AA_1\) наклонено к плоскости оснований под углом, тангенс которого равен \(2\) . Найдите объем призмы, если \(AF = 2\sqrt3\) .

\(AH\) – проекция наклонной \(A_1A\) на плоскость \(ABC\) , тогда \(\mathrm{tg}\,\angle A_1AH = 2\) .

В \(ABCDEF\) все углы равны друг другу, их можно найти по формуле: \(\frac{180^\circ\cdot(n-2)}{6}\) , где \(n\) – число сторон правильного многоугольника, тогда каждый угол в правильном шестиугольнике равен: \(\frac{180^\circ\cdot(6-2)}{6} = 120^\circ\) .

Треугольник \(\triangle ABF\) – равнобедренный, \(\angle ABF = \angle AFB = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\) .
В силу симметрии \(ABCDEF\) : \(\angle FAH = \angle BAH = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\triangle AHF\) – прямоугольный. В этом треугольнике \(AH\) лежит напротив угла в \(30^\circ\) \(\Rightarrow\) \(AH = \frac{1}{2}\cdot AF = \frac{1}{2}\cdot2\sqrt3\) .
В прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1AH\) : \(A_1H = AH\cdot \mathrm{tg}\, \angle A_1AH = 2\sqrt3\) .

В шестиугольнике \(ABCDEF\) отрезки \(AD\) , \(BE\) и \(CF\) пересекаются в точке \(O\) , при этом шестиугольник разделится на \(6\) одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной \(2\sqrt3\) (см. рисунок).

Тогда \(S_{ABCDEF} = 6\cdot S_{\text{тр.}} = 6\cdot \frac{1}{2}\cdot2\sqrt3\cdot2\sqrt3\cdot\sin 60^\circ = 6\cdot \frac{1}{2}\cdot2\sqrt3\cdot2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 18\sqrt3\) .

Теперь найдем объем призмы: \

Ответ: 108

Решение задач по теме «Призма» из раздела «Геометрия в пространстве» является обязательной частью ЕГЭ по математике. Следовательно, понимать алгоритм нахождения правильного ответа должны все учащиеся старших классов. Освоив решение задач по теме «Призма», выпускники смогут успешно выполнять задания с различным количеством действий.

Базовая информация, которую стоит повторить

• Призма представляет собой многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. Остальные грани - это параллелограммы.
• Призма называется n-угольной по количеству углов многоугольника в основании. Это может быть треугольник (в этом случае призма является треугольной), пятиугольник и т. д.
• Призма считается прямой в том случае, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
• Многогранник, который не является прямым, называется наклонным.

Регулярные занятия с математическим порталом «Школково» - залог качественной подготовки к единому государственному экзамену

С проблемой поиска нужной информации сталкиваются многие выпускники. Учебник не всегда имеется под рукой. А поиск подходящих формул для решения задач на нахождение площади, объема призмы и других параметров зачастую отнимает достаточно большое количество времени.

Образовательный портал «Школково» поможет качественно подготовиться к аттестационному испытанию. Мы предлагаем старшеклассникам и их преподавателям выстроить алгоритм занятия по-новому, переходя от простого к сложному. Специалисты «Школково» убеждены, что именно такой подход позволит выпускникам выявить темы, которые нуждаются в более детальном изучении.

Весь теоретический материал, который поможет вам в выполнении заданий ЕГЭ по теме «Призма», собран в разделе «Теоретическая справка». Представленная информация позволит вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задачи на призму или, например, на тему не вызывали затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» собраны как достаточно простые задания, так и материалы повышенной сложности, которые также изучаются в рамках школьной программы. Для каждого упражнения на сайте представлен алгоритм решения, разобравшись с которым выпускники смогут без труда найти объем, площадь призмы и другие параметры.

Начните онлайн-занятия на сайте «Школково» уже сейчас, ведь с каждым днем остается все меньше времени на подготовку!